Cho bất phương trình ${{\log }_{3a}}11+{{\log...

Đặt $m=3a$ khi đó bất phương trình đã cho trở thành
${\log }_{m}11+{\log }_{{\displaystyle \frac{1}{7}}}(\sqrt{x^2+mx+10}+4).{\log }_m(x^2+mx+12)\ge 0$ $\left(1\right)$
Điều kiện của bất phương trình là $m>0;m\ne 1;x^2+mx+10\ge 0.$ Ta có:
$\left(1\right)\iff {\displaystyle \frac{1-{\log }_7(\sqrt{x^2+mx+10}+4).{\log }_{11}(x^2+mx+12)}{{\log }_{11}m}}\ge 0$ $\left(2\right)$
Đặt $u=x^2+mx+10,u\ge 0.$
* Với $0<m<1.$ Ta có
$\left(2\right)\iff f\left(u\right)={\log }_7(\sqrt{u}+4).{\log }_{11}(u+2)\ge 1=f\left(9\right).$ $\left(3\right)$
Vì $f\left(u\right)$ là hàm tăng trên $(0;+\mathrm{\infty })$ nên từ $\left(3\right)$ ta có
$f\left(u\right)\ge f\left(9\right)\iff u\ge 9\iff x^2+mx+1\ge 0.$ $\left(4\right)$
$\left(4\right)$ vô số nghiệm vì $\mathrm{\Delta }=m^2-4<0$ với $\mathrm{\forall }m\in (0;1).$ Suy ra $0<m<1$ không thỏa bài toán.
* Với $m>1.$ Ta có
$\left(2\right)\iff f\left(u\right)\le f\left(9\right)\iff 0\le u\le 9\iff \{\begin{array}{rl}& x^2+mx+10\ge 0\left(5\right)\\ & x^2+mx+1\le 0\left(6\right)\end{array}$
Xét $\left(6\right)$, ta có $\mathrm{\Delta }=m^2-4.$
+ $m^2-4<0\iff 1<m<2$ thì $\left(6\right)$ vô nghiệm. Không thỏa bài toán.
+ $m^2-4>0\iff m>2$ thì $\left(6\right)$ có nghiệm là đoạn $[x_1;x_2]$, lúc này $\left(5\right)$ nhận hơn 1 số của $[x_1;x_2]$ làm nghiệm. Không thỏa bài toán.
+ $m^2-4=0\iff m=2$ thì $\left(6\right)$ có nghiệm duy nhất $x=-1$ và $x=-1$ thỏa $\left(5\right).$ Do đó bất phương trình có nghiệm duy nhất là $x=-1.$
Vậy $m=2\iff a={\displaystyle \frac{2}{3}}.$