Cho bất phương trình ${{\log }_{3a}}11+{{\log...

Đặt $m=3a$ khi đó bất phương trình đã cho trở thành
${{\log }_{m}}11+{{\log }_{\dfrac{1}{7}}}\left( \sqrt{{{x}^{2}}+mx+10}+4 \right).{{\log }_{m}}\left( {{x}^{2}}+mx+12 \right)\ge 0$ $\left( 1 \right)$
Điều kiện của bất phương trình là $m>0;m\ne 1;{{x}^{2}}+mx+10\ge 0.$ Ta có:
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \dfrac{1-{{\log }_{7}}\left( \sqrt{{{x}^{2}}+mx+10}+4 \right).{{\log }_{11}}\left( {{x}^{2}}+mx+12 \right)}{{{\log }_{11}}m}\ge 0$ $\left( 2 \right)$
Đặt $u={{x}^{2}}+mx+10,u\ge 0.$
* Với $0<m<1.$ Ta có
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( u \right)={{\log }_{7}}\left( \sqrt{u}+4 \right).{{\log }_{11}}\left( u+2 \right)\ge 1=f\left( 9 \right).$ $\left( 3 \right)$
Vì $f\left( u \right)$ là hàm tăng trên $\left( 0;+\infty \right)$ nên từ $\left( 3 \right)$ ta có
$f\left( u \right)\ge f\left( 9 \right)\Leftrightarrow u\ge 9\Leftrightarrow {{x}^{2}}+mx+1\ge 0.$ $\left( 4 \right)$
$\left( 4 \right)$ vô số nghiệm vì $\Delta ={{m}^{2}}-4<0$ với $\forall m\in \left( 0;1 \right).$ Suy ra $0<m<1$ không thỏa bài toán.
* Với $m>1.$ Ta có
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( u \right)\le f\left( 9 \right)\Leftrightarrow 0\le u\le 9\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+mx+10\ge 0\text{ }\left( 5 \right) \\
& {{x}^{2}}+mx+1\le 0\text{ }\left( 6 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Xét $\left( 6 \right)$, ta có $\Delta ={{m}^{2}}-4.$
+ ${{m}^{2}}-4<0\Leftrightarrow 1<m<2$ thì $\left( 6 \right)$ vô nghiệm. Không thỏa bài toán.
+ ${{m}^{2}}-4>0\Leftrightarrow m>2$ thì $\left( 6 \right)$ có nghiệm là đoạn $\left[ {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right]$, lúc này $\left( 5 \right)$ nhận hơn 1 số của $\left[ {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right]$ làm nghiệm. Không thỏa bài toán.
+ ${{m}^{2}}-4=0\Leftrightarrow m=2$ thì $\left( 6 \right)$ có nghiệm duy nhất $x=-1$ và $x=-1$ thỏa $\left( 5 \right).$ Do đó bất phương trình có nghiệm duy nhất là $x=-1.$
Vậy $m=2\Leftrightarrow a=\dfrac{2}{3}.$