Cho bất phương trình ${\log }_2^2\left(2x\right)-2(m+1){\log }_{2}x-2<0.$ Tìm tất cả các giá trị của thamsố $m$ để bất phương...

Phương pháp:
- Đặt $t={\log }_{2}x,$ tìm khoảng giá trị của $t$.
- Đưa bất phương trình về dạng $m>f\left(t\right)\mathrm{\forall }t\in (a;b)\iff m>\underset{[a;b]}{min}f\left(t\right)$.
- Chứng minh hàm số $f\left(t\right)$ đơn điệu trên $(a;b)$ và tìm $\underset{[a;b]}{min}f\left(t\right)$.
Cách giải:
Đặt $t={\log }_{2}x,$ do $x\in (\sqrt{2};+\mathrm{\infty })$ nên $t>{\displaystyle \frac{1}{2}}.$ Khi đó bất phương trình tương đương:
${(t+1)}^2-2(m+1)t-2<0\iff t^2-2mt-1<0\iff {\displaystyle \frac{t^2-1}{2t}}<m$
Yêu cầu bài toán trở thành bất phương trình trên có nghiệm $t\ge {\displaystyle \frac{1}{2}}.$ Đặt $f\left(t\right)={\displaystyle \frac{t^2-1}{2t}}.$ Ta có:
$f^{\prime }\left(t\right)={({\displaystyle \frac{t}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2t}})}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2t^2}}>0,\mathrm{\forall }t>{\displaystyle \frac{1}{2}}$
Do đó yêu cầu bài toán tương đương $m>\underset{[{\displaystyle \frac{1}{2}};+\mathrm{\infty })}{min}f\left(t\right)=f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=-{\displaystyle \frac{3}{4}}.$