Cho bất phương trình $\log _{2}^{2}\left( 2x \right)-2\left( m+1 \right){{\log }_{2}}x-2<0.$ Tìm tất cả các giá trị của thamsố $m$ để bất phương...

Phương pháp:
- Đặt $t={{\log }_{2}}x,$ tìm khoảng giá trị của $t$.
- Đưa bất phương trình về dạng $m>f\left( t \right)\forall t\in \left( a;b \right)\Leftrightarrow m>\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)$.
- Chứng minh hàm số $f\left( t \right)$ đơn điệu trên $\left( a;b \right)$ và tìm $\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)$.
Cách giải:
Đặt $t={{\log }_{2}}x,$ do $x\in \left( \sqrt{2};+\infty \right)$ nên $t>\dfrac{1}{2}.$ Khi đó bất phương trình tương đương:
${{\left( t+1 \right)}^{2}}-2\left( m+1 \right)t-2<0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2mt-1<0\Leftrightarrow \dfrac{{{t}^{2}}-1}{2t}<m$
Yêu cầu bài toán trở thành bất phương trình trên có nghiệm $t\ge \dfrac{1}{2}.$ Đặt $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-1}{2t}.$ Ta có:
$f'\left( t \right)=\left( \dfrac{t}{2}-\dfrac{1}{2t} \right)'=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2{{t}^{2}}}>0,\forall t>\dfrac{1}{2}$
Do đó yêu cầu bài toán tương đương $m>\underset{\left[ \dfrac{1}{2};+\infty \right)}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=f\left( \dfrac{1}{2} \right)=-\dfrac{3}{4}.$