Google
Câu hỏi: Cho bất phương trình ${{\left( 3+\sqrt{5} \right)}^{x}}+\left( 9-m \right){{\left( 3-\sqrt{5} \right)}^{x}}\ge \left( m-1 \right){{2}^{x}}$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để bất phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi $x$ thuộc đoạn $\left[ 0;2 \right]?$
A. 5.
B. 7.
C. 9.
D. 8.
A. 5.
B. 7.
C. 9.
D. 8.
Bất phương trình đã cho tương đương với ${{\left( \dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \right)}^{x}}+\left( 9-m \right){{\left( \dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \right)}^{x}}-\left( m-1 \right)\ge 0.$
Đặt $t={{\left( \dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \right)}^{x}}$, với $x\in \left[ 0;2 \right]\Rightarrow t\in \left[ 1;\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2} \right],$ ta được bất phương trình
${{t}^{2}}-\left( m-1 \right)t+9-m\ge 0\Leftrightarrow \dfrac{{{t}^{2}}+t+9}{t+1}\ge m.$
Bất phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi $x$ thuộc đoạn $\left[ 0;2 \right]$ khi và chỉ khi $m\le \underset{\left[ 1;\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2} \right]}{\mathop{\min }} \dfrac{{{t}^{2}}+t+9}{t+1}.$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+t+9}{t+1}$ trên $\left[ 1;\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2} \right]\Rightarrow f'\left( t \right)=1-\dfrac{9}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}};f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=2 \\
& t=-4\left( l \right) \\
\end{aligned} \right..$
Dễ thấy $\underset{\left[ 1;\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2} \right]}{\mathop{\min }} \dfrac{{{t}^{2}}+t+9}{t+1}=f\left( 2 \right)=5\Rightarrow m\le 5.$ Vậy có 5 giá trị nguyên dương của tham số $m$ thỏa mãn.
Đặt $t={{\left( \dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \right)}^{x}}$, với $x\in \left[ 0;2 \right]\Rightarrow t\in \left[ 1;\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2} \right],$ ta được bất phương trình
${{t}^{2}}-\left( m-1 \right)t+9-m\ge 0\Leftrightarrow \dfrac{{{t}^{2}}+t+9}{t+1}\ge m.$
Bất phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi $x$ thuộc đoạn $\left[ 0;2 \right]$ khi và chỉ khi $m\le \underset{\left[ 1;\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2} \right]}{\mathop{\min }} \dfrac{{{t}^{2}}+t+9}{t+1}.$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+t+9}{t+1}$ trên $\left[ 1;\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2} \right]\Rightarrow f'\left( t \right)=1-\dfrac{9}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}};f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=2 \\
& t=-4\left( l \right) \\
\end{aligned} \right..$
Dễ thấy $\underset{\left[ 1;\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2} \right]}{\mathop{\min }} \dfrac{{{t}^{2}}+t+9}{t+1}=f\left( 2 \right)=5\Rightarrow m\le 5.$ Vậy có 5 giá trị nguyên dương của tham số $m$ thỏa mãn.
Đáp án A.