Google
Câu hỏi: Cho bất phương trình ${{4}^{x}}-\left( m+1 \right){{2}^{x+1}}+m\ge 0$. Tập hợp các giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x\ge 0$ là
A. $\left( -1;16 \right]$.
B. $\left( -\infty ;-1 \right]$.
C. $\left( -\infty ;0 \right]$.
D. $\left( -\infty ;12 \right]$.
A. $\left( -1;16 \right]$.
B. $\left( -\infty ;-1 \right]$.
C. $\left( -\infty ;0 \right]$.
D. $\left( -\infty ;12 \right]$.
Ta có ${{4}^{x}}-\left( m+1 \right){{2}^{x+1}}+m\ge 0, \forall x\ge 0$
$\Leftrightarrow {{4}^{x}}-{{2.2}^{x}}\ge \left( {{2.2}^{x}}-1 \right)m, \forall x\ge 0$
$\Leftrightarrow m\le \dfrac{{{4}^{x}}-{{2.2}^{x}}}{{{2.2}^{x}}-1}=\dfrac{{{t}^{2}}-2t}{2t-1}$ với $t={{2}^{x}}, t\ge 1$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-2t}{2t-1}$ trên $\left[ 1;+\infty \right)$.
Ta có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{2{{t}^{2}}-2t+2}{{{\left( 2t-1 \right)}^{2}}}>0, \forall t\ge 1$. Vậy $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left[ 1;+\infty \right)$.
Vậy để thoả mãn thì $m\le \underset{\left[ 1;+\infty \right)}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=f\left( 1 \right)=-1$ hay $m\in \left( -\infty ;-1 \right]$.
$\Leftrightarrow {{4}^{x}}-{{2.2}^{x}}\ge \left( {{2.2}^{x}}-1 \right)m, \forall x\ge 0$
$\Leftrightarrow m\le \dfrac{{{4}^{x}}-{{2.2}^{x}}}{{{2.2}^{x}}-1}=\dfrac{{{t}^{2}}-2t}{2t-1}$ với $t={{2}^{x}}, t\ge 1$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-2t}{2t-1}$ trên $\left[ 1;+\infty \right)$.
Ta có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{2{{t}^{2}}-2t+2}{{{\left( 2t-1 \right)}^{2}}}>0, \forall t\ge 1$. Vậy $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left[ 1;+\infty \right)$.
Vậy để thoả mãn thì $m\le \underset{\left[ 1;+\infty \right)}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=f\left( 1 \right)=-1$ hay $m\in \left( -\infty ;-1 \right]$.
Đáp án B.