Google
Câu hỏi: Cho bất phương trình: $1+{{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge {{\log }_{5}}\left( m{{x}^{2}}+4x+m \right)\left( 1 \right).$ Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $\left( 1 \right)$ được nghiệm đúng với mọi số thực $x:$
A. $2<m\le 3.$
B. $-3\le m\le 7.$
C. $2\le m\le 3.$
D. $m\le 3;m\ge 7.$
A. $2<m\le 3.$
B. $-3\le m\le 7.$
C. $2\le m\le 3.$
D. $m\le 3;m\ge 7.$
Ta có: $1+{{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge {{\log }_{5}}\left( m{{x}^{2}}+4x+m \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}5\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge {{\log }_{5}}\left( m{{x}^{2}}+4x+m \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\
& 5\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge m{{x}^{2}}+4x+m \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m{{x}^{2}}+4x+m>0\text{ }\left( 2 \right) \\
& \left( m-5 \right){{x}^{2}}+4x+m-5\le 0\left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right..$
Bất phương trình $\left( 1 \right)$ được nghiệm đúng với mọi số thực $x$ khi và chỉ khi các bất phương trình $\left( 2 \right),\left( 3 \right)$ được nghiệm đúng với mọi số thực $x.$
+) Xét $\left( 2 \right):$
Nếu $m=0,\left( 2 \right)\Leftrightarrow 4x\le 0\Leftrightarrow x\le 0$ không thỏa mãn với mọi $x.$
Nếu $m\ne 0$ nghiệm đúng với mọi số thực $x\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& \Delta '=4-{{m}^{2}}<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m<-2 \\
& m>2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>2\left( a \right).$
+) Xét $\left( 3 \right):$
Nếu $m=5,\left( 3 \right)\Leftrightarrow 4x\le 0\Leftrightarrow x\le 0$ không thỏa mãn với mọi $x.$
Nếu $m\ne 5,\left( 3 \right)$ có nghiệm đúng với mọi số thực $x\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m-5<0 \\
& \Delta '=4-{{\left( m-5 \right)}^{2}}\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<5 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m-5\le -2 \\
& m-5\ge 2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<5 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m\le 3 \\
& m\ge 7 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\le 3\text{ }\left( b \right).$
Từ $\left( a \right)$ và $\left( b \right),$ suy ra: Yêu cầu của bài toán xảy ra khi và chỉ khi $2<m\le 3.$
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}5\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge {{\log }_{5}}\left( m{{x}^{2}}+4x+m \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\
& 5\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge m{{x}^{2}}+4x+m \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m{{x}^{2}}+4x+m>0\text{ }\left( 2 \right) \\
& \left( m-5 \right){{x}^{2}}+4x+m-5\le 0\left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right..$
Bất phương trình $\left( 1 \right)$ được nghiệm đúng với mọi số thực $x$ khi và chỉ khi các bất phương trình $\left( 2 \right),\left( 3 \right)$ được nghiệm đúng với mọi số thực $x.$
+) Xét $\left( 2 \right):$
Nếu $m=0,\left( 2 \right)\Leftrightarrow 4x\le 0\Leftrightarrow x\le 0$ không thỏa mãn với mọi $x.$
Nếu $m\ne 0$ nghiệm đúng với mọi số thực $x\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& \Delta '=4-{{m}^{2}}<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m<-2 \\
& m>2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>2\left( a \right).$
+) Xét $\left( 3 \right):$
Nếu $m=5,\left( 3 \right)\Leftrightarrow 4x\le 0\Leftrightarrow x\le 0$ không thỏa mãn với mọi $x.$
Nếu $m\ne 5,\left( 3 \right)$ có nghiệm đúng với mọi số thực $x\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m-5<0 \\
& \Delta '=4-{{\left( m-5 \right)}^{2}}\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<5 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m-5\le -2 \\
& m-5\ge 2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<5 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m\le 3 \\
& m\ge 7 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\le 3\text{ }\left( b \right).$
Từ $\left( a \right)$ và $\left( b \right),$ suy ra: Yêu cầu của bài toán xảy ra khi và chỉ khi $2<m\le 3.$
Đáp án A.