Google
Câu hỏi: Cho bảng biến thiên của hàm số $y={{f}^{ /}}(x)$ như sau
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho bất phương trình $f(x)+{{x}^{3}}+3x-m>0$ nghiệm đúng $\forall x\in (0;2)$, ta được kết quả là
A. $m<f(2)$.
B. $m\le f(0)$.
C. $m<f(2)+14$.
D. $m\le f(2)+14$.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho bất phương trình $f(x)+{{x}^{3}}+3x-m>0$ nghiệm đúng $\forall x\in (0;2)$, ta được kết quả là
A. $m<f(2)$.
B. $m\le f(0)$.
C. $m<f(2)+14$.
D. $m\le f(2)+14$.
Bất phương trình đã cho tương đương: $m<f(x)+{{x}^{3}}+3x$
Xét hàm số $g\left( x \right)=f(x)+{{x}^{3}}+3x$ trên khoảng $(0;2)$,
${g}'\left( x \right)={f}'(x)+3{{x}^{2}}+3={f}'(x)+3\left( {{x}^{2}}+1 \right)$
$\forall x\in (0;2),{f}'\left( x \right)\ge -1$ và $3\left( {{x}^{2}}+1 \right)>3\Rightarrow {g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)+3\left( {{x}^{2}}+1 \right)>0,\forall x\in \left( 0;2 \right)$
nên hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $(0;2)$
Ta có bảng biến thiên của $g\left( x \right)$
Từ bảng biến thiên ta suy ra bất phương trình $m<f(x)+{{x}^{3}}+3x$ đúng với mọi $x\in (0;2)$ $\Leftrightarrow m\le g\left( 0 \right)\Leftrightarrow m\le f\left( 0 \right)$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=f(x)+{{x}^{3}}+3x$ trên khoảng $(0;2)$,
${g}'\left( x \right)={f}'(x)+3{{x}^{2}}+3={f}'(x)+3\left( {{x}^{2}}+1 \right)$
$\forall x\in (0;2),{f}'\left( x \right)\ge -1$ và $3\left( {{x}^{2}}+1 \right)>3\Rightarrow {g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)+3\left( {{x}^{2}}+1 \right)>0,\forall x\in \left( 0;2 \right)$
nên hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $(0;2)$
Ta có bảng biến thiên của $g\left( x \right)$
Từ bảng biến thiên ta suy ra bất phương trình $m<f(x)+{{x}^{3}}+3x$ đúng với mọi $x\in (0;2)$ $\Leftrightarrow m\le g\left( 0 \right)\Leftrightarrow m\le f\left( 0 \right)$.
Đáp án B.