Cho bảng biến thiên của hàm số $y=f^{/}(x)$ như sau Tìm tất...

Bất phương trình đã cho tương đương: $m<f(x)+x^3+3x$
Xét hàm số $g\left(x\right)=f(x)+x^3+3x$ trên khoảng $(0;2)$,
$g^{\prime }\left(x\right)=f^{\prime }(x)+3x^2+3=f^{\prime }(x)+3(x^2+1)$
$\mathrm{\forall }x\in (0;2),f^{\prime }\left(x\right)\ge -1$ và $3(x^2+1)>3\Rightarrow g^{\prime }\left(x\right)=f^{\prime }\left(x\right)+3(x^2+1)>0,\mathrm{\forall }x\in (0;2)$
nên hàm số $g\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng $(0;2)$
Ta có bảng biến thiên của $g\left(x\right)$

Từ bảng biến thiên ta suy ra bất phương trình $m<f(x)+x^3+3x$ đúng với mọi $x\in (0;2)$ $\iff m\le g\left(0\right)\iff m\le f\left(0\right)$.