Google
Câu hỏi: Cho ba số phức z1, z2, z3 thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{3}} \right|=1, z_{1}^{2}={{z}_{2}}{{z}_{3}}, \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}.$ Tính giá trị của biểu thức $P=\left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|-\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|?$
A. $T=\dfrac{2-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.$
B. $T=\dfrac{1-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.$
C. $T=\dfrac{2-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}.$
D. $T=\dfrac{4-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}.$
Ta có $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow 1.\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}} \right|\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$
$\Leftrightarrow \left| z_{1}^{2}-{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}}{{z}_{3}}-{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$
$\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}} \right|\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}.$
Gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}.$
Khi đó, ta có
$OA=OB=OC=1$ và $AB=AC=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}.$
Áp dụng định lý côsin cho tam giác AOB, dễ dàng tính được $\widehat{AOB}=150{}^\circ \Rightarrow \widehat{BOC}=60{}^\circ $
$\Rightarrow \Delta OBC$ là tam giác đều $\Rightarrow BC=1\Rightarrow \left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|=1.$
Vậy $P=\left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|-\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|=1-\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.$
A. $T=\dfrac{2-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.$
B. $T=\dfrac{1-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.$
C. $T=\dfrac{2-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}.$
D. $T=\dfrac{4-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}.$
Ta có $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow 1.\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}} \right|\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$
$\Leftrightarrow \left| z_{1}^{2}-{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}}{{z}_{3}}-{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$
$\Leftrightarrow \left| {{z}_{2}} \right|\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}.$
Gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}.$
Khi đó, ta có
$OA=OB=OC=1$ và $AB=AC=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}.$
Áp dụng định lý côsin cho tam giác AOB, dễ dàng tính được $\widehat{AOB}=150{}^\circ \Rightarrow \widehat{BOC}=60{}^\circ $
$\Rightarrow \Delta OBC$ là tam giác đều $\Rightarrow BC=1\Rightarrow \left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|=1.$
Vậy $P=\left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|-\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|=1-\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.$
Đáp án A.