Google
Câu hỏi: Cho ba số phức ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}, {{z}_{3}}$ thỏa mãn $\left\{ \begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{3}} \right|=1 \\
& z_{1}^{2}={{z}_{2}}.{{z}_{3}} \\
& \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} \\
\end{aligned} \right. $. Tính giá trị của biểu thức $ M=\left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|-\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|$
A. $-\sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{3}$
B. $-\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{3}$
C. $\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}-2}{2}$
D. $\dfrac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}+2}{2}$
Gọi M, N, P lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}, {{z}_{3}}$.
Từ $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{3}} \right|=1$ ta có M, N, P thuộc đường tròn $\left( O; 1 \right)$
Ta có $MN=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow \cos MON=\dfrac{O{{M}^{2}}+O{{N}^{2}}-M{{N}^{2}}}{2OM.ON}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow MON=150{}^\circ $
Lại có: $\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{3}}{{z}_{1}}-z_{1}^{2} \right|=\left| {{z}_{3}}{{z}_{1}}-{{z}_{3}}{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{3}} \right|\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow MN=MP=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\Rightarrow MOP=150{}^\circ $
$\Rightarrow NOP=60{}^\circ \Rightarrow \Delta NOP$ đều $\Rightarrow NP=1\Rightarrow \left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|=1$
Vậy $M=1-\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}=\dfrac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}+2}{2}$
& \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{3}} \right|=1 \\
& z_{1}^{2}={{z}_{2}}.{{z}_{3}} \\
& \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} \\
\end{aligned} \right. $. Tính giá trị của biểu thức $ M=\left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|-\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|$
A. $-\sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{3}$
B. $-\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{3}$
C. $\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}-2}{2}$
D. $\dfrac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}+2}{2}$
Từ $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{3}} \right|=1$ ta có M, N, P thuộc đường tròn $\left( O; 1 \right)$
Ta có $MN=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow \cos MON=\dfrac{O{{M}^{2}}+O{{N}^{2}}-M{{N}^{2}}}{2OM.ON}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow MON=150{}^\circ $
Lại có: $\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{3}}{{z}_{1}}-z_{1}^{2} \right|=\left| {{z}_{3}}{{z}_{1}}-{{z}_{3}}{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{3}} \right|\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow MN=MP=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\Rightarrow MOP=150{}^\circ $
$\Rightarrow NOP=60{}^\circ \Rightarrow \Delta NOP$ đều $\Rightarrow NP=1\Rightarrow \left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|=1$
Vậy $M=1-\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}=\dfrac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}+2}{2}$
Đáp án D.