Google
Câu hỏi: Cho ba số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}$, thỏa mãn $\left\{ \begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{3}} \right|=1 \\
& z_{1}^{2}={{z}_{2}}.{{z}_{3}} \\
& \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} \\
\end{aligned} \right.$. Tính giá trị của biểu thức
$M=\left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|-\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|$ b
A. $-\sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{3}$
B. $-\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{3}$
C. $\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}-2}{2}$
D. $\dfrac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}+2}{2}$
Gọi M, N, P lần lượt là các điểm biểu diễn trong hệ trục tọa độ của các số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}$.
Suy ra M, N, P thuộc đường tròn $\left( O;1 \right)$.
$\begin{aligned}
& MN=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\Rightarrow cos\widehat{OMN}\angle =\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \\
& \Rightarrow \widehat{OMN}=15{}^\circ \Rightarrow \widehat{MON}=150{}^\circ \\
\end{aligned}$
Ta có
$\begin{aligned}
& \left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{3}}{{z}_{1}}-z_{1}^{2} \right|=\left| {{z}_{3}}{{z}_{1}}-{{z}_{3}}{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{3}} \right|\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} \\
& \Rightarrow MN=MP=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{MOP}=150{}^\circ \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow \widehat{NOP}=60{}^\circ \Rightarrow \Delta NOP$ đều $\Rightarrow NP=1\Rightarrow \left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|=1$
Vậy $T=\dfrac{2-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$
& \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{3}} \right|=1 \\
& z_{1}^{2}={{z}_{2}}.{{z}_{3}} \\
& \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} \\
\end{aligned} \right.$. Tính giá trị của biểu thức
$M=\left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|-\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|$ b
A. $-\sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{3}$
B. $-\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{3}$
C. $\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}-2}{2}$
D. $\dfrac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}+2}{2}$
Gọi M, N, P lần lượt là các điểm biểu diễn trong hệ trục tọa độ của các số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}$.
Suy ra M, N, P thuộc đường tròn $\left( O;1 \right)$.
$\begin{aligned}
& MN=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\Rightarrow cos\widehat{OMN}\angle =\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \\
& \Rightarrow \widehat{OMN}=15{}^\circ \Rightarrow \widehat{MON}=150{}^\circ \\
\end{aligned}$
Ta có
$\begin{aligned}
& \left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{3}}{{z}_{1}}-z_{1}^{2} \right|=\left| {{z}_{3}}{{z}_{1}}-{{z}_{3}}{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{3}} \right|\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} \\
& \Rightarrow MN=MP=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{MOP}=150{}^\circ \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow \widehat{NOP}=60{}^\circ \Rightarrow \Delta NOP$ đều $\Rightarrow NP=1\Rightarrow \left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|=1$
Vậy $T=\dfrac{2-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$
Đáp án D.