Google
Câu hỏi: Cho ba số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{3}} \right|=1$ ; $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$ và $z_{1}^{2}={{z}_{2}}{{z}_{3}}.$ Tính giá trị của $\left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|-\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|$.
A. $-\sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{3}.$
B. $-\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{3}.$
C. $\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}-2}{2}$
D. $\dfrac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}+2}{2}$
A. $-\sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{3}.$
B. $-\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{3}.$
C. $\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}-2}{2}$
D. $\dfrac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}+2}{2}$
Gọi M, N, P lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}$.
Suy ra M, N, P thuộc đường tròn $\left( O;1 \right)$.
Ta có $MN=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$.
Kẻ $OH\bot MN\Rightarrow MH=\dfrac{MN}{2}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\Rightarrow \cos \widehat{OMN}=\dfrac{MN}{OM}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
$\Rightarrow \widehat{OMN}={{15}^{0}}\Rightarrow \widehat{MON}={{150}^{0}}$
Ta có $\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{3}}{{z}_{1}}-z_{1}^{2} \right|=\left| {{z}_{3}}{{z}_{1}}-{{z}_{3}}{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{3}} \right|.\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow MP=\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\Rightarrow MN=MP=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}.$
Tương tự như trên $\Rightarrow \widehat{MOP}={{150}^{0}}\Rightarrow \widehat{NOP}={{360}^{0}}-\left( {{150}^{0}}+{{150}^{0}} \right)={{60}^{0}}$
$\Rightarrow \Delta NOP$ đều $\Rightarrow NP=1$
$\Rightarrow \left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|=NP=1\Rightarrow \left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|-\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|=1-\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.$
Suy ra M, N, P thuộc đường tròn $\left( O;1 \right)$.
Ta có $MN=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$.
Kẻ $OH\bot MN\Rightarrow MH=\dfrac{MN}{2}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\Rightarrow \cos \widehat{OMN}=\dfrac{MN}{OM}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
$\Rightarrow \widehat{OMN}={{15}^{0}}\Rightarrow \widehat{MON}={{150}^{0}}$
Ta có $\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{3}}{{z}_{1}}-z_{1}^{2} \right|=\left| {{z}_{3}}{{z}_{1}}-{{z}_{3}}{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{3}} \right|.\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow MP=\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\Rightarrow MN=MP=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}.$
Tương tự như trên $\Rightarrow \widehat{MOP}={{150}^{0}}\Rightarrow \widehat{NOP}={{360}^{0}}-\left( {{150}^{0}}+{{150}^{0}} \right)={{60}^{0}}$
$\Rightarrow \Delta NOP$ đều $\Rightarrow NP=1$
$\Rightarrow \left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|=NP=1\Rightarrow \left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|-\left| {{z}_{3}}-{{z}_{1}} \right|=1-\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.$
Đáp án D.