Cho ba số phức $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ thỏa mãn $\left|...

The Knowledge · 21/12/21

Câu hỏi: Cho ba số phức

z_{1}, z_{2}, z_{3}

thỏa mãn

| z_{1} | = | z_{2} | = | z_{3} | = 1

;

| z_{1} - z_{2} | = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}

và

z_{1}^{2} = z_{2} z_{3} .

Tính giá trị của

| z_{2} - z_{3} | - | z_{3} - z_{1} |

.
A.

- \sqrt{6} - \sqrt{2} - \sqrt{3} .

B.

- \sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{3} .

C.

\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} - 2}{2}

D.

\frac{- \sqrt{6} - \sqrt{2} + 2}{2}

Gọi M, N, P lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức

z_{1}, z_{2}, z_{3}

.
Suy ra M, N, P thuộc đường tròn

(O; 1)

.

Ta có

M N = | z_{1} - z_{2} | = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}

.
Kẻ

O H ⊥ M N \Rightarrow M H = \frac{M N}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \Rightarrow \cos \hat{O M N} = \frac{M N}{O M} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

\Rightarrow \hat{O M N} = 15^{0} \Rightarrow \hat{M O N} = 150^{0}

Ta có

| z_{3} - z_{1} | = | z_{1} | . | z_{3} - z_{1} | = | z_{3} z_{1} - z_{1}^{2} | = | z_{3} z_{1} - z_{3} z_{2} | = | z_{3} | . | z_{1} - z_{2} | = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}

\Rightarrow M P = | z_{3} - z_{1} | = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} \Rightarrow M N = M P = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} .

Tương tự như trên

\Rightarrow \hat{M O P} = 150^{0} \Rightarrow \hat{N O P} = 360^{0} - (150^{0} + 150^{0}) = 60^{0}

\Rightarrow Δ N O P

đều

\Rightarrow N P = 1

\Rightarrow | z_{2} - z_{3} | = N P = 1 \Rightarrow | z_{2} - z_{3} | - | z_{3} - z_{1} | = 1 - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} .

Đáp án D.

Cho ba số phức z1,z2,z3 thỏa mãn $\left|...