Google
Câu hỏi: Cho ba điểm $A\left( 1;-3;2 \right),B\left( 2;-3;1 \right),C\left( -3;1;2 \right)$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-3}{2}$. Tìm điểm D có hoành độ dương trên d sao cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12.
A. $D\left( 6;5;7 \right)$
B. $D\left( 1;-1;3 \right)$
C. $D\left( 7;2;9 \right)$
D. $D\left( 3;1;5 \right)$
A. $D\left( 6;5;7 \right)$
B. $D\left( 1;-1;3 \right)$
C. $D\left( 7;2;9 \right)$
D. $D\left( 3;1;5 \right)$
Ta có $D\in \text{d}\Leftrightarrow D\left( 1+2t;-1+t;3+2t \right),t\in \mathbb{R}$.
$\overrightarrow{AB}=\left( 1;0;-1 \right),\overrightarrow{AC}=\left( -4;4;0 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( 4;4;4 \right)$.
$\overrightarrow{A\text{D}}=\left( 2t;2+t;1+2t \right)$.
${{V}_{ABC\text{D}}}=\dfrac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{A\text{D}} \right|\Leftrightarrow \left| 4\left( 2t \right)+4\left( 2+t \right)+4\left( 1+2t \right) \right|=6.12\Leftrightarrow \left| 5t+3 \right|=18\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=3 \\
& t=-\dfrac{21}{5} \\
\end{aligned} \right.$.
Với $t=3$ suy ra $D\left( 7;2;9 \right)$ (thỏa mãn điều kiện).
Với $t=-\dfrac{21}{5}\Rightarrow {{x}_{D}}=-\dfrac{37}{5}<0$ (loại).
$\overrightarrow{AB}=\left( 1;0;-1 \right),\overrightarrow{AC}=\left( -4;4;0 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( 4;4;4 \right)$.
$\overrightarrow{A\text{D}}=\left( 2t;2+t;1+2t \right)$.
${{V}_{ABC\text{D}}}=\dfrac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{A\text{D}} \right|\Leftrightarrow \left| 4\left( 2t \right)+4\left( 2+t \right)+4\left( 1+2t \right) \right|=6.12\Leftrightarrow \left| 5t+3 \right|=18\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=3 \\
& t=-\dfrac{21}{5} \\
\end{aligned} \right.$.
Với $t=3$ suy ra $D\left( 7;2;9 \right)$ (thỏa mãn điều kiện).
Với $t=-\dfrac{21}{5}\Rightarrow {{x}_{D}}=-\dfrac{37}{5}<0$ (loại).
Đáp án C.