Google
Câu hỏi: Cho $a,x$ là các số thực dương và $a\ne 1$ thỏa mãn ${{\log }_{a}}x=\log \left( {{a}^{x}} \right)$. Tìm giá trị lớn nhất của $a$ ?
A. 1.
B. $\log \left( {{2}^{e}}-1 \right)$.
C. ${{e}^{\sqrt{\dfrac{\ln 10}{e}}}}$.
D. ${{10}^{\sqrt{\dfrac{\log e}{2}}}}$.
A. 1.
B. $\log \left( {{2}^{e}}-1 \right)$.
C. ${{e}^{\sqrt{\dfrac{\ln 10}{e}}}}$.
D. ${{10}^{\sqrt{\dfrac{\log e}{2}}}}$.
Ta có ${{\log }_{a}}x=x\log a=x\left( \log x.{{\log }_{x}}a \right)\Rightarrow {{\left( {{\log }_{a}}x \right)}^{2}}=x\log x$
$\Rightarrow {{\left( \log {{a}^{x}} \right)}^{2}}=x\log x\Rightarrow x{{\left( \log a \right)}^{2}}=\log x\Rightarrow {{\left( \log a \right)}^{2}}=\dfrac{\log x}{x}=f\left( x \right)$
$\Rightarrow {f}'\left( x \right)=\dfrac{\dfrac{1}{x\ln 10}.x-\log x}{{{x}^{2}}}=0\Rightarrow \log x={{\log }_{10}}e=\log e\Rightarrow x=e$
$\Rightarrow {{\left( \log a \right)}^{2}}\le \dfrac{\log e}{e}\Rightarrow \log a\le \sqrt{\dfrac{\log e}{e}}\Rightarrow a\le {{10}^{\sqrt{\dfrac{\log e}{e}}}}={{e}^{\sqrt{\dfrac{\ln 10}{e}}}}$.
$\Rightarrow {{\left( \log {{a}^{x}} \right)}^{2}}=x\log x\Rightarrow x{{\left( \log a \right)}^{2}}=\log x\Rightarrow {{\left( \log a \right)}^{2}}=\dfrac{\log x}{x}=f\left( x \right)$
$\Rightarrow {f}'\left( x \right)=\dfrac{\dfrac{1}{x\ln 10}.x-\log x}{{{x}^{2}}}=0\Rightarrow \log x={{\log }_{10}}e=\log e\Rightarrow x=e$
$\Rightarrow {{\left( \log a \right)}^{2}}\le \dfrac{\log e}{e}\Rightarrow \log a\le \sqrt{\dfrac{\log e}{e}}\Rightarrow a\le {{10}^{\sqrt{\dfrac{\log e}{e}}}}={{e}^{\sqrt{\dfrac{\ln 10}{e}}}}$.
Đáp án C.