Google
Câu hỏi: Cho a và b là hai số thực dương khác 1 và các hàm số $y={{a}^{x}},y={{b}^{x}}$ có đồ thị như hình vẽ.
Đường thẳng $y=3$ cắt trục tung, đồ thị hàm số $y={{a}^{x}},y={{b}^{x}}$ lần lượt tại các điểm $H,M,N.$ Biết rằng $HM=2MN.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $2a=b.$
B. ${{a}^{3}}={{b}^{2}}.$
C. ${{a}^{2}}={{b}^{3}}.$
D. $3a=2b.$
Đường thẳng $y=3$ cắt trục tung, đồ thị hàm số $y={{a}^{x}},y={{b}^{x}}$ lần lượt tại các điểm $H,M,N.$ Biết rằng $HM=2MN.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $2a=b.$
B. ${{a}^{3}}={{b}^{2}}.$
C. ${{a}^{2}}={{b}^{3}}.$
D. $3a=2b.$
Ta có
$H\left( 0;3 \right),M\left( {{x}_{M}};3 \right),N\left( {{x}_{N}};3 \right)\text{; }\!\!~\!\!\overrightarrow{HM}=2\overrightarrow{MN}\Rightarrow {{x}_{M}}=2\left( {{x}_{N}}-{{x}_{M}} \right)\Rightarrow 3{{x}_{M}}=2{{x}_{N}}.$
Mà $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{a}^{{{x}_{M}}}}=3 \\
{{b}^{{{x}_{N}}}}=3 \\
\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}_{M}}={{\log }_{a}}3 \\
{{x}_{N}}={{\log }_{b}}3 \\
\end{array} \right.\Rightarrow 3{{\log }_{a}}3=2{{\log }_{b}}3\Rightarrow \dfrac{3}{{{\log }_{3}}a}=\dfrac{2}{{{\log }_{3}}b}$
$\Rightarrow 2{{\log }_{3}}a=3{{\log }_{3}}b\Rightarrow {{\log }_{3}}{{a}^{2}}={{\log }_{3}}{{b}^{3}}\Rightarrow {{a}^{2}}={{b}^{3}}.$
$H\left( 0;3 \right),M\left( {{x}_{M}};3 \right),N\left( {{x}_{N}};3 \right)\text{; }\!\!~\!\!\overrightarrow{HM}=2\overrightarrow{MN}\Rightarrow {{x}_{M}}=2\left( {{x}_{N}}-{{x}_{M}} \right)\Rightarrow 3{{x}_{M}}=2{{x}_{N}}.$
Mà $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{a}^{{{x}_{M}}}}=3 \\
{{b}^{{{x}_{N}}}}=3 \\
\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}_{M}}={{\log }_{a}}3 \\
{{x}_{N}}={{\log }_{b}}3 \\
\end{array} \right.\Rightarrow 3{{\log }_{a}}3=2{{\log }_{b}}3\Rightarrow \dfrac{3}{{{\log }_{3}}a}=\dfrac{2}{{{\log }_{3}}b}$
$\Rightarrow 2{{\log }_{3}}a=3{{\log }_{3}}b\Rightarrow {{\log }_{3}}{{a}^{2}}={{\log }_{3}}{{b}^{3}}\Rightarrow {{a}^{2}}={{b}^{3}}.$
Đáp án C.