Cho $a={{\log }_{3}}5;b={{\log }_{2}}5$. Tính ${{\log }_{24}}18$...

Phương pháp:
- Tính $lo{{g}_{2}}3$, dựa vào công thức: ${{\log }_{a}}b=\dfrac{{{\log }_{a}}c}{{{\log }_{b}}c}$
- Sử dụng các công thức: $lo{{g}_{a}}x+lo{{g}_{a}}y=lo{{g}_{a}}xy,lo{{g}_{{{a}^{m}}}}{{b}^{n}}=\dfrac{n}{m}lo{{g}_{a}}b,lo{{g}_{a}}b=\dfrac{1}{{{\log }_{b}}a}$
(giả sử các biểu thức là có nghĩa).
Cách giải:
Ta có
$\begin{aligned}
& lo{{g}_{2}}5=b\Rightarrow lo{{g}_{5}}2=\dfrac{1}{b} \\
& lo{{g}_{3}}5=a\Rightarrow lo{{g}_{3}}2=\dfrac{lo{{g}_{3}}5}{lo{{g}_{2}}5}=\dfrac{a}{b} \\
\end{aligned}$
Đặt $P=lo{{g}_{24}}18$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow P=lo{{g}_{24}}\left( {{3}^{2}}.2 \right) \\
& \Leftrightarrow P=2lo{{g}_{24}}3+lo{{g}_{24}}2 \\
& \Leftrightarrow P=\dfrac{2}{lo{{g}_{3}}\left( {{2}^{3}}.3 \right)}+\dfrac{1}{lo{{g}_{2}}\left( {{2}^{3}}.3 \right)} \\
& \Leftrightarrow P=\dfrac{2}{3lo{{g}_{3}}2+1}+\dfrac{1}{3+{{\log }_{2}}3} \\
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow P=\dfrac{2}{\dfrac{3a}{b}+1}+\dfrac{1}{3+\dfrac{b}{a}} \\
& \Leftrightarrow P=\dfrac{2b}{3a+b}+\dfrac{a}{3a+b} \\
& \Leftrightarrow P=\dfrac{a+2b}{3a+b} \\
\end{aligned}$