Cho $A (1; 4; 2), B (- 1; 2; 4)$ , đường thẳng...

The Professor · 17/12/21

Câu hỏi: Cho

A (1; 4; 2), B (- 1; 2; 4)

, đường thẳng

d : {\begin{aligned} x = 5 - 4 t \\ y = 2 + 2 t \\ z = 4 + t \end{aligned}

và điểm M thuộc d. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMB.
A.

2 \sqrt{3} .

B.

2 \sqrt{2} .

C.

3 \sqrt{2} .

D.

6 \sqrt{2} .

Gọi

M (5 - 4 t; 2 + 2 t; 4 + t) \in d \Rightarrow \vec{M A} = (- 4 + 4 t; 2 - 2 t; - 2 - t), \vec{M B} = (- 6 + 4 t; - 2 t; - t)

.

\begin{aligned} \Rightarrow [\vec{M A}, \vec{M B}] = (- 6 t; - 6 t + 12; - 12 t + 12) \\ \Rightarrow [\vec{M A}, \vec{M B}] = \sqrt{36 t^{2} + 36 {(t - 2)}^{2} + 144 {(t - 1)}^{2}} = 6 \sqrt{8 t^{2} - 16 t + 10} = 6 \sqrt{8 {(t - 1)}^{2} + 2} \\ \Rightarrow S_{M A B} = \frac{1}{2} [\vec{M A}, \vec{M B}] = 3 \sqrt{8 {(t - 1)}^{2} + 2} \geq 3 \sqrt{2} \end{aligned}

Dấu "=" xảy ra khi

t = 1 \Rightarrow M (1; 4; 5)

.
Vậy diện tích tam giác MAB nhỏ nhất bằng

3 \sqrt{2}

khi

M (1; 4; 5)

.
Lưu ý: Công thức tính diện tích:

S_{M A B} = \frac{1}{2} [\vec{M A}, \vec{M B}]

.

Đáp án C.

Cho A(1;4;2),B(−1;2;4), đường thẳng...