Google
Câu hỏi: Cho $A\left( 1;4;2 \right),B\left( -1;2;4 \right)$, đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=5-4t \\
& y=2+2t \\
& z=4+t \\
\end{aligned} \right.$ và điểm M thuộc d. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMB.
A. $2\sqrt{3}.$
B. $2\sqrt{2}.$
C. $3\sqrt{2}.$
D. $6\sqrt{2}.$
& x=5-4t \\
& y=2+2t \\
& z=4+t \\
\end{aligned} \right.$ và điểm M thuộc d. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMB.
A. $2\sqrt{3}.$
B. $2\sqrt{2}.$
C. $3\sqrt{2}.$
D. $6\sqrt{2}.$
Gọi $M\left( 5-4t;2+2t;4+t \right)\in d\Rightarrow \overrightarrow{MA}=\left( -4+4t;2-2t;-2-t \right),\overrightarrow{MB}=\left( -6+4t;-2t;-t \right)$.
$\begin{aligned}
& \Rightarrow \left[ \overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB} \right]=\left( -6t;-6t+12;-12t+12 \right) \\
& \Rightarrow \left[ \overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB} \right]=\sqrt{36{{t}^{2}}+36{{\left( t-2 \right)}^{2}}+144{{\left( t-1 \right)}^{2}}}=6\sqrt{8{{t}^{2}}-16t+10}=6\sqrt{8{{\left( t-1 \right)}^{2}}+2} \\
& \Rightarrow {{S}_{MAB}}=\dfrac{1}{2}\left[ \overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB} \right]=3\sqrt{8{{\left( t-1 \right)}^{2}}+2}\ge 3\sqrt{2} \\
\end{aligned}$
Dấu "=" xảy ra khi $t=1\Rightarrow M\left( 1;4;5 \right)$.
Vậy diện tích tam giác MAB nhỏ nhất bằng $3\sqrt{2}$ khi $M\left( 1;4;5 \right)$.
Lưu ý: Công thức tính diện tích: ${{S}_{MAB}}=\dfrac{1}{2}\left[ \overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB} \right]$.
$\begin{aligned}
& \Rightarrow \left[ \overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB} \right]=\left( -6t;-6t+12;-12t+12 \right) \\
& \Rightarrow \left[ \overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB} \right]=\sqrt{36{{t}^{2}}+36{{\left( t-2 \right)}^{2}}+144{{\left( t-1 \right)}^{2}}}=6\sqrt{8{{t}^{2}}-16t+10}=6\sqrt{8{{\left( t-1 \right)}^{2}}+2} \\
& \Rightarrow {{S}_{MAB}}=\dfrac{1}{2}\left[ \overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB} \right]=3\sqrt{8{{\left( t-1 \right)}^{2}}+2}\ge 3\sqrt{2} \\
\end{aligned}$
Dấu "=" xảy ra khi $t=1\Rightarrow M\left( 1;4;5 \right)$.
Vậy diện tích tam giác MAB nhỏ nhất bằng $3\sqrt{2}$ khi $M\left( 1;4;5 \right)$.
Lưu ý: Công thức tính diện tích: ${{S}_{MAB}}=\dfrac{1}{2}\left[ \overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB} \right]$.
Đáp án C.