Google
Câu hỏi: Cho a là số thực, phương trình ${{z}^{2}}+\left( a-2 \right)z+2\text{a}-3=0$ có 2 nghiệm ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$. Gọi M, N là điểm biểu diễn của ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ trên mặt phẳng tọa độ. Biết tam giác OMN có một góc bằng $120{}^\circ $, tổng các giá trị của a bằng
A. -6
B. 6
C. -4
D. 4
A. -6
B. 6
C. -4
D. 4
Vì O, M, N không thẳng hàng nên ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ không đồng thời là số thực, cũng không đồng thời là số thuần ảo $\Rightarrow {{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ là hai nghiệm phức, không phải là số thực của phương trình ${{z}^{2}}+\left( a-2 \right)z+2\text{a}-3=0$. Do đó, ta phải có: $\Delta ={{a}^{2}}-12\text{a}+16<0\Leftrightarrow a\in \left( 6-2\sqrt{5}; 6+2\sqrt{5} \right)$.
Khi đó, ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=\dfrac{2-a}{2}-\dfrac{\sqrt{-{{a}^{2}}+12\text{a}-16}}{2}i \\
& {{z}_{2}}=\dfrac{2-a}{2}+\dfrac{\sqrt{-{{a}^{2}}+12\text{a}-16}}{2}i \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow OM=ON=\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{2\text{a}-3}$ và $MN=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{-{{a}^{2}}+12\text{a}-16}$.
Tam giác OMN cân nên $\widehat{MON}=120{}^\circ \Rightarrow \dfrac{O{{M}^{2}}+O{{N}^{2}}-M{{N}^{2}}}{2\text{O}M.ON}=\cos 120{}^\circ $.
$\Leftrightarrow \dfrac{{{a}^{2}}-8a+10}{2\left( 2a-3 \right)}=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow {{a}^{2}}-6a+7=0\Leftrightarrow a=3\pm \sqrt{2}$ (thỏa mãn).
Suy ra tổng các giá trị cần tìm của a là 6.
Khi đó, ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=\dfrac{2-a}{2}-\dfrac{\sqrt{-{{a}^{2}}+12\text{a}-16}}{2}i \\
& {{z}_{2}}=\dfrac{2-a}{2}+\dfrac{\sqrt{-{{a}^{2}}+12\text{a}-16}}{2}i \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow OM=ON=\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{2\text{a}-3}$ và $MN=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{-{{a}^{2}}+12\text{a}-16}$.
Tam giác OMN cân nên $\widehat{MON}=120{}^\circ \Rightarrow \dfrac{O{{M}^{2}}+O{{N}^{2}}-M{{N}^{2}}}{2\text{O}M.ON}=\cos 120{}^\circ $.
$\Leftrightarrow \dfrac{{{a}^{2}}-8a+10}{2\left( 2a-3 \right)}=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow {{a}^{2}}-6a+7=0\Leftrightarrow a=3\pm \sqrt{2}$ (thỏa mãn).
Suy ra tổng các giá trị cần tìm của a là 6.
Đáp án B.