Cho a, b là các số thực và hàm số: $f\left( x \right)=a{{\log...

Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-6=a{{\log }^{2021}}\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}+x \right)+b\sin x.\cos \left( 2020x \right)$
Do $\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x>\left| x \right|+x\ge 0$ nên hàm số $g\left( x \right)$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Ta có: $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D$
và $g\left( -x \right)=a{{\log }^{2021}}\left( \sqrt{{{\left( -x \right)}^{2}}+1}+\left( -x \right) \right)+b\sin \left( -x \right).\cos \left( 2020\left( -x \right) \right)$
$\Leftrightarrow g\left( -x \right)=a{{\log }^{2021}}\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)-b\sin x.\cos \left( 2020x \right)$
$\Leftrightarrow g\left( -x \right)=a{{\log }^{2021}}\left( \dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x} \right)-b\sin x.\cos \left( 2020x \right)$
$\Leftrightarrow g\left( -x \right)=-a{{\log }^{2021}}\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}+x \right)-b\sin x\cos \left( 2020x \right)$
$\Leftrightarrow g\left( -x \right)=-g\left( x \right)$
Vậy hàm số $g\left( x \right)$ là hàm số lẻ.
Lại có: ${{2020}^{\ln 2021}}={{2021}^{\ln 2020}}\Rightarrow g\left( {{2020}^{\ln 2021}} \right)=-g\left( -{{2021}^{\ln 2020}} \right)$
$\Leftrightarrow f\left( {{2020}^{\ln 2021}} \right)-6=-\left[ f\left( -{{2021}^{\ln 2020}} \right)-6 \right]$
$\Leftrightarrow 10-6=-f\left( -{{2021}^{\ln 2020}} \right)+6\Leftrightarrow f\left( -{{2021}^{\ln 2020}} \right)=2$