Google
Câu hỏi: Cho a, b là các số thực thỏa mãn ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}>1$ và ${{\log }_{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\left( a+b \right)\ge 1$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=2\text{a}+4b-3$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
B. $\dfrac{\sqrt{10}}{2}$
C. $\sqrt{10}$
D. $2\sqrt{10}$
A. $\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
B. $\dfrac{\sqrt{10}}{2}$
C. $\sqrt{10}$
D. $2\sqrt{10}$
Viết lại giả thiết, ta có
${{\log }_{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\left( a+b \right)\ge 1\Leftrightarrow a+b\ge {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( a-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( b-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}\le \dfrac{1}{2}$
Lại có $a+2b=\left[ \left( a-\dfrac{1}{2} \right)+2\left( b-\dfrac{1}{2} \right) \right]+\dfrac{3}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta được
${{\left[ \left( a-\dfrac{1}{2} \right)+2\left( b-\dfrac{1}{2} \right) \right]}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}} \right).\left[ {{\left( a-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( b-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}} \right]=5.\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$
Do đó $\left( a-\dfrac{1}{2} \right)+2\left( b-\dfrac{1}{2} \right)\le \dfrac{\sqrt{10}}{2}\Leftrightarrow a+2b\le \dfrac{\sqrt{10}}{2}+\dfrac{3}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{P+3}{2}\le \dfrac{\sqrt{10}}{2}+\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow P\le \sqrt{10}\to {{P}_{\max }}=\sqrt{10}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=\dfrac{5+\sqrt{10}}{10}; b=\dfrac{5+2\sqrt{10}}{10}$
+ Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki:
Với $a, b, x, y$ là các số thực, ta có các bất đẳng thức sau:
$\left( ax+by \right)\le \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)$ (dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}$ )
${{\log }_{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\left( a+b \right)\ge 1\Leftrightarrow a+b\ge {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( a-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( b-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}\le \dfrac{1}{2}$
Lại có $a+2b=\left[ \left( a-\dfrac{1}{2} \right)+2\left( b-\dfrac{1}{2} \right) \right]+\dfrac{3}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta được
${{\left[ \left( a-\dfrac{1}{2} \right)+2\left( b-\dfrac{1}{2} \right) \right]}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}} \right).\left[ {{\left( a-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( b-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}} \right]=5.\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$
Do đó $\left( a-\dfrac{1}{2} \right)+2\left( b-\dfrac{1}{2} \right)\le \dfrac{\sqrt{10}}{2}\Leftrightarrow a+2b\le \dfrac{\sqrt{10}}{2}+\dfrac{3}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{P+3}{2}\le \dfrac{\sqrt{10}}{2}+\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow P\le \sqrt{10}\to {{P}_{\max }}=\sqrt{10}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=\dfrac{5+\sqrt{10}}{10}; b=\dfrac{5+2\sqrt{10}}{10}$
Note 8: Phương pháp chung
+ ${{\log }_{a}}b=1\Leftrightarrow a=b$ với $a>0; a\ne 1; b>0$ + Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki:
Với $a, b, x, y$ là các số thực, ta có các bất đẳng thức sau:
$\left( ax+by \right)\le \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)$ (dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}$ )
Đáp án C.