Google
Câu hỏi: Cho $a,b$ là các số thực thỏa mãn $a>0$ và $a\ne 1$, biết phương trình ${{a}^{x}}-\dfrac{1}{{{a}^{x}}}=2\cos \left( bx \right)$ có 7 nghiệm thực phân biệt. Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương trình ${{a}^{2x}}-2{{a}^{x}}\left( \cos bx+2 \right)+1=0$.
A. 14.
B. 0.
C. 7.
D. 28.
A. 14.
B. 0.
C. 7.
D. 28.
${{a}^{2x}}-2{{a}^{x}}\left( \cos bx+2 \right)+1=0\Leftrightarrow {{a}^{x}}+\dfrac{1}{{{a}^{x}}}=2\left( \cos bx+2 \right)$
$\Leftrightarrow {{\left( {{a}^{\dfrac{x}{2}}} \right)}^{2}}+\dfrac{1}{{{\left( {{a}^{\dfrac{x}{2}}} \right)}^{2}}}-2=2\left( \cos bx+1 \right)\Leftrightarrow {{\left( {{a}^{\dfrac{x}{2}}}-\dfrac{1}{{{a}^{\dfrac{x}{2}}}} \right)}^{2}}=2.2{{\cos }^{2}}\dfrac{bx}{2}$
$\left[ \begin{aligned}
& {{a}^{\dfrac{x}{2}}}-\dfrac{1}{{{a}^{\dfrac{x}{2}}}}=2\cos \dfrac{bx}{2} \\
& {{a}^{\dfrac{x}{2}}}-\dfrac{1}{{{a}^{\dfrac{x}{2}}}}=-2\cos \dfrac{bx}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{a}^{\dfrac{x}{2}}}-\dfrac{1}{{{a}^{\dfrac{x}{2}}}}=2\cos \dfrac{bx}{2}\left( 1 \right) \\
& {{a}^{-\dfrac{x}{2}}}-\dfrac{1}{{{a}^{-\dfrac{x}{2}}}}=2\cos \left( \dfrac{b\left( -x \right)}{2} \right)\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Theo bài ra ta có phương trình (1) có 7 nghiệm phân biệt.
Ta thấy nếu ${{x}_{0}}$ là nghiệm của (1) $\Rightarrow $ (2) có nghiệm $-{{x}_{0}}$.
Xét $f\left( 0 \right)=1-2.1\left( 1+2 \right)+1=-4\ne 0\Rightarrow x=0$ không là nghiệm của (1)
$\Rightarrow {{x}_{0}}\ne 0\Rightarrow -{{x}_{0}}\ne {{x}_{0}}\forall {{x}_{0}}.$
Vậy phương trình đề bài có tất cả 14 nghiệm.
$\Leftrightarrow {{\left( {{a}^{\dfrac{x}{2}}} \right)}^{2}}+\dfrac{1}{{{\left( {{a}^{\dfrac{x}{2}}} \right)}^{2}}}-2=2\left( \cos bx+1 \right)\Leftrightarrow {{\left( {{a}^{\dfrac{x}{2}}}-\dfrac{1}{{{a}^{\dfrac{x}{2}}}} \right)}^{2}}=2.2{{\cos }^{2}}\dfrac{bx}{2}$
$\left[ \begin{aligned}
& {{a}^{\dfrac{x}{2}}}-\dfrac{1}{{{a}^{\dfrac{x}{2}}}}=2\cos \dfrac{bx}{2} \\
& {{a}^{\dfrac{x}{2}}}-\dfrac{1}{{{a}^{\dfrac{x}{2}}}}=-2\cos \dfrac{bx}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{a}^{\dfrac{x}{2}}}-\dfrac{1}{{{a}^{\dfrac{x}{2}}}}=2\cos \dfrac{bx}{2}\left( 1 \right) \\
& {{a}^{-\dfrac{x}{2}}}-\dfrac{1}{{{a}^{-\dfrac{x}{2}}}}=2\cos \left( \dfrac{b\left( -x \right)}{2} \right)\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Theo bài ra ta có phương trình (1) có 7 nghiệm phân biệt.
Ta thấy nếu ${{x}_{0}}$ là nghiệm của (1) $\Rightarrow $ (2) có nghiệm $-{{x}_{0}}$.
Xét $f\left( 0 \right)=1-2.1\left( 1+2 \right)+1=-4\ne 0\Rightarrow x=0$ không là nghiệm của (1)
$\Rightarrow {{x}_{0}}\ne 0\Rightarrow -{{x}_{0}}\ne {{x}_{0}}\forall {{x}_{0}}.$
Vậy phương trình đề bài có tất cả 14 nghiệm.
Đáp án A.