Google
Câu hỏi: Cho $a,b$ là các số thực thỏa mãn $4a+2b>0$ và ${{\log }_{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1}}\left( 4a+2b \right)\ge 1$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=3a+4b$. Tính $M+m$.
A. $25$.
B. $22$.
C. $21$.
D. $20.$
A. $25$.
B. $22$.
C. $21$.
D. $20.$
Nhận xét: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1>1, \forall a,b$
+ Ta có ${{\log }_{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1}}\left( 4a+2b \right)\ge 1\Leftrightarrow 4a+2b\ge {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1$ $(1)$.
Cách 1.
+ Ta có $P=3a+4b\Leftrightarrow b=\dfrac{P-3a}{4}$. $(2)$
+ Thay (2) vào (1) ta được $4a+2\dfrac{P-3a}{4}\ge {{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{P-3a}{4} \right)}^{2}}+1$.
$\Leftrightarrow 25{{a}^{2}}-2a(3P+20)+{{P}^{2}}-8P+16\le 0$. $(3)$
Để bài toán đã cho tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ thì bất phương trình $(3)$ có nghiệm hay $\Delta '\ge 0$ $\Leftrightarrow \Delta '=-16{{P}^{2}}+320P\ge 0\Leftrightarrow 0\le P\le 20$.
Suy ra $M=20; m=0$ hay $M+m=20$.
Cách 2
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}\le 4$.
Suy ra $M\left( a; b \right)$ là các điểm thuộc hình tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( 2; 1 \right)$, bán kính $R=2$.
Gọi $\Delta $ là đường thẳng có phương trình: $3x+4y=0$. Khi đó $d\left( M;\Delta \right)=\dfrac{\left| 3a+4b \right|}{5}=\dfrac{\left| P \right|}{5}$.
Mặt khác $d\left( I;\Delta \right)=\dfrac{\left| 3.2+4.1 \right|}{5}=2$ nên $\Delta $ tiếp xúc với đường tròn $\left( C \right)$.
Đường thẳng ${\Delta }'$ qua $I$ và vuông góc với $\Delta $, cắt đường tròn $\left( C \right)$ tại hai điểm ${{M}_{1}}$, ${{M}_{2}}$ (như hình vẽ).
Dựa vào hình vẽ ta thấy:
Khi $M\equiv {{M}_{1}}$ , $\min d\left( M;\Delta \right)=0$ $\Rightarrow \text{min}P=0$ $\Rightarrow m=0$.
Khi $M\equiv {{M}_{2}}$ , $\max d\left( M;\Delta \right)=2R=4$ $\Rightarrow \text{max}P=20$ $\Rightarrow M=20$.
Vậy $M+m=20$.
Cách 3
+ Ta có ${{\log }_{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1}}\left( 4a+2b \right)\ge 1\Leftrightarrow 4a+2b\ge {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1\Leftrightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}\le 4 \left( 1 \right)$
+ Mặt khác $P=3a+4b=3\left( a-2 \right)+4\left( b-1 \right)+10 $
Do đó ${{\left( P-10 \right)}^{2}}={{\left[ 3\left( a-2 \right)+4\left( b-1 \right) \right]}^{2}}\le \left( {{3}^{2}}+{{4}^{2}} \right)\left[ {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}} \right]\le 25.4=100$
Khi đó $-10\le P-10\le 10 \Leftrightarrow 0\le P\le 20$
Vậy $m=\min P=0 $ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{a-2}{3}=\dfrac{b-1}{4}<0 \\
& {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}=4 \\
\end{aligned} \right. $ (hệ có $ 1$ nghiệm duy nhất)
$M=\max P=20$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{a-2}{3}=\dfrac{b-1}{4}>0 \\
& {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}=4 \\
\end{aligned} \right. $ (hệ có $ 1$ nghiệm duy nhất)
+ Ta có ${{\log }_{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1}}\left( 4a+2b \right)\ge 1\Leftrightarrow 4a+2b\ge {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1$ $(1)$.
Cách 1.
+ Ta có $P=3a+4b\Leftrightarrow b=\dfrac{P-3a}{4}$. $(2)$
+ Thay (2) vào (1) ta được $4a+2\dfrac{P-3a}{4}\ge {{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{P-3a}{4} \right)}^{2}}+1$.
$\Leftrightarrow 25{{a}^{2}}-2a(3P+20)+{{P}^{2}}-8P+16\le 0$. $(3)$
Để bài toán đã cho tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ thì bất phương trình $(3)$ có nghiệm hay $\Delta '\ge 0$ $\Leftrightarrow \Delta '=-16{{P}^{2}}+320P\ge 0\Leftrightarrow 0\le P\le 20$.
Suy ra $M=20; m=0$ hay $M+m=20$.
Cách 2
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}\le 4$.
Suy ra $M\left( a; b \right)$ là các điểm thuộc hình tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( 2; 1 \right)$, bán kính $R=2$.
Gọi $\Delta $ là đường thẳng có phương trình: $3x+4y=0$. Khi đó $d\left( M;\Delta \right)=\dfrac{\left| 3a+4b \right|}{5}=\dfrac{\left| P \right|}{5}$.
Mặt khác $d\left( I;\Delta \right)=\dfrac{\left| 3.2+4.1 \right|}{5}=2$ nên $\Delta $ tiếp xúc với đường tròn $\left( C \right)$.
Đường thẳng ${\Delta }'$ qua $I$ và vuông góc với $\Delta $, cắt đường tròn $\left( C \right)$ tại hai điểm ${{M}_{1}}$, ${{M}_{2}}$ (như hình vẽ).
Dựa vào hình vẽ ta thấy:
Khi $M\equiv {{M}_{1}}$ , $\min d\left( M;\Delta \right)=0$ $\Rightarrow \text{min}P=0$ $\Rightarrow m=0$.
Khi $M\equiv {{M}_{2}}$ , $\max d\left( M;\Delta \right)=2R=4$ $\Rightarrow \text{max}P=20$ $\Rightarrow M=20$.
Vậy $M+m=20$.
Cách 3
+ Ta có ${{\log }_{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1}}\left( 4a+2b \right)\ge 1\Leftrightarrow 4a+2b\ge {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1\Leftrightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}\le 4 \left( 1 \right)$
+ Mặt khác $P=3a+4b=3\left( a-2 \right)+4\left( b-1 \right)+10 $
Do đó ${{\left( P-10 \right)}^{2}}={{\left[ 3\left( a-2 \right)+4\left( b-1 \right) \right]}^{2}}\le \left( {{3}^{2}}+{{4}^{2}} \right)\left[ {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}} \right]\le 25.4=100$
Khi đó $-10\le P-10\le 10 \Leftrightarrow 0\le P\le 20$
Vậy $m=\min P=0 $ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{a-2}{3}=\dfrac{b-1}{4}<0 \\
& {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}=4 \\
\end{aligned} \right. $ (hệ có $ 1$ nghiệm duy nhất)
$M=\max P=20$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{a-2}{3}=\dfrac{b-1}{4}>0 \\
& {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}=4 \\
\end{aligned} \right. $ (hệ có $ 1$ nghiệm duy nhất)
Đáp án D.