Cho $a,b$ là các số thực thỏa mãn $4a+2b>0$ và ${{\log...

Nhận xét: $a^2+b^2+1>1,\mathrm{\forall }a,b$
+ Ta có ${\log }_{a^2+b^2+1}(4a+2b)\ge 1\iff 4a+2b\ge a^2+b^2+1$ $(1)$.
Cách 1.
+ Ta có $P=3a+4b\iff b={\displaystyle \frac{P-3a}{4}}$. $(2)$
+ Thay (2) vào (1) ta được $4a+2{\displaystyle \frac{P-3a}{4}}\ge a^2+{\left({\displaystyle \frac{P-3a}{4}}\right)}^2+1$.
$\iff 25a^2-2a(3P+20)+P^2-8P+16\le 0$. $(3)$
Để bài toán đã cho tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ thì bất phương trình $(3)$ có nghiệm hay ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }\ge 0$ $\iff {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=-16P^2+320P\ge 0\iff 0\le P\le 20$.
Suy ra $M=20;m=0$ hay $M+m=20$.
Cách 2
$\left(1\right)\iff {(a-2)}^2+{(b-1)}^2\le 4$.
Suy ra $M(a;b)$ là các điểm thuộc hình tròn $\left(C\right)$ tâm $I(2;1)$, bán kính $R=2$.
Gọi $\mathrm{\Delta }$ là đường thẳng có phương trình: $3x+4y=0$. Khi đó $d(M;\mathrm{\Delta })={\displaystyle \frac{|3a+4b|}{5}}={\displaystyle \frac{\left|P\right|}{5}}$.
Mặt khác $d(I;\mathrm{\Delta })={\displaystyle \frac{|3.2+4.1|}{5}}=2$ nên $\mathrm{\Delta }$ tiếp xúc với đường tròn $\left(C\right)$.
Đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ qua $I$ và vuông góc với $\mathrm{\Delta }$, cắt đường tròn $\left(C\right)$ tại hai điểm $M_1$, $M_2$ (như hình vẽ).

Dựa vào hình vẽ ta thấy:
Khi $M\equiv M_1$ , $mind(M;\mathrm{\Delta })=0$ $\Rightarrow \text{min}P=0$ $\Rightarrow m=0$.
Khi $M\equiv M_2$ , $maxd(M;\mathrm{\Delta })=2R=4$ $\Rightarrow \text{max}P=20$ $\Rightarrow M=20$.
Vậy $M+m=20$.
Cách 3
+ Ta có ${\log }_{a^2+b^2+1}(4a+2b)\ge 1\iff 4a+2b\ge a^2+b^2+1\iff {(a-2)}^2+{(b-1)}^2\le 4\left(1\right)$
+ Mặt khác $P=3a+4b=3(a-2)+4(b-1)+10$
Do đó ${(P-10)}^2={[3(a-2)+4(b-1)]}^2\le (3^2+4^2)[{(a-2)}^2+{(b-1)}^2]\le 25.4=100$
Khi đó $-10\le P-10\le 10\iff 0\le P\le 20$
Vậy $m=minP=0$ khi và chỉ khi $\{\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{a-2}{3}}={\displaystyle \frac{b-1}{4}}<0\\ & {(a-2)}^2+{(b-1)}^2=4\end{array}$ (hệ có $1$ nghiệm duy nhất)
$M=maxP=20$ khi và chỉ khi $\{\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{a-2}{3}}={\displaystyle \frac{b-1}{4}}>0\\ & {(a-2)}^2+{(b-1)}^2=4\end{array}$ (hệ có $1$ nghiệm duy nhất)