Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn

\int_{0}^{2} \frac{d x}{a x + b} = \frac{2}{a} \ln 2

và

\int_{0}^{2} \frac{d x}{b x + a} = \frac{1}{b} \ln \frac{2 a + 1}{3} .

Khi đó tổng

T = a + b

bằng bao nhiêu ?
A.

T = 7.

B.

T = 3.

C.

T = 9.

D.

T = 5.

Với

a, b > 0,

ta có:
+)

\int_{0}^{2} \frac{d x}{a x + b} = \frac{1}{a} {\ln | a x + b | |}_{0}^{2} = \frac{1}{a} \ln \frac{2 a + b}{b} = \frac{2}{a} \ln 2 \Rightarrow \frac{2 a + b}{b} = 4 \Leftrightarrow 2 a = 3 b

(*).
+)

\int_{0}^{2} \frac{d x}{b x + a} = \frac{1}{b} {\ln | b x + a | |}_{0}^{2} = \frac{1}{b} \ln \frac{2 b + a}{a} = \frac{1}{b} \ln \frac{2 a + 1}{3}

\Rightarrow \frac{2 b + a}{a} = \frac{2 a + 1}{3} \Leftrightarrow 6 b + 3 a = 2 a^{2} + a

(2*)
Thay (*) vào (2*), ta được:

4 a + 3 a = 2 a^{2} + a \Leftrightarrow 2 a (a - 3) = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} a = 0 \\ a = 3 \end{aligned} \overset{a > 0}{\to} a = 3 \overset{(*)}{\to} b = 2.

Suy ra

T = a + b = 5.

Đáp án D.