Google
Câu hỏi: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn $\int\limits_{0}^{2}{\dfrac{dx}{ax+b}}=\dfrac{2}{a}\ln 2$ và $\int\limits_{0}^{2}{\dfrac{dx}{bx+a}}=\dfrac{1}{b}\ln \dfrac{2a+1}{3}.$ Khi đó tổng $T=a+b$ bằng bao nhiêu ?
A. $T=7.$
B. $T=3.$
C. $T=9.$
D. $T=5.$
A. $T=7.$
B. $T=3.$
C. $T=9.$
D. $T=5.$
Với $a,b>0,$ ta có:
+) $\int\limits_{0}^{2}{\dfrac{dx}{ax+b}}=\dfrac{1}{a}\left. \ln \left| ax+b \right| \right|_{0}^{2}=\dfrac{1}{a}\ln \dfrac{2a+b}{b}=\dfrac{2}{a}\ln 2\Rightarrow \dfrac{2a+b}{b}=4\Leftrightarrow 2a=3b$ (*).
+) $\int\limits_{0}^{2}{\dfrac{dx}{bx+a}}=\dfrac{1}{b}\left. \ln \left| bx+a \right| \right|_{0}^{2}=\dfrac{1}{b}\ln \dfrac{2b+a}{a}=\dfrac{1}{b}\ln \dfrac{2a+1}{3}$
$\Rightarrow \dfrac{2b+a}{a}=\dfrac{2a+1}{3}\Leftrightarrow 6b+3a=2{{a}^{2}}+a$ (2*)
Thay (*) vào (2*), ta được:
$4a+3a=2{{a}^{2}}+a\Leftrightarrow 2a\left( a-3 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=0 \\
& a=3 \\
\end{aligned} \right.\xrightarrow{a>0}a=3\xrightarrow{\left( * \right)}b=2.$
Suy ra $T=a+b=5.$
+) $\int\limits_{0}^{2}{\dfrac{dx}{ax+b}}=\dfrac{1}{a}\left. \ln \left| ax+b \right| \right|_{0}^{2}=\dfrac{1}{a}\ln \dfrac{2a+b}{b}=\dfrac{2}{a}\ln 2\Rightarrow \dfrac{2a+b}{b}=4\Leftrightarrow 2a=3b$ (*).
+) $\int\limits_{0}^{2}{\dfrac{dx}{bx+a}}=\dfrac{1}{b}\left. \ln \left| bx+a \right| \right|_{0}^{2}=\dfrac{1}{b}\ln \dfrac{2b+a}{a}=\dfrac{1}{b}\ln \dfrac{2a+1}{3}$
$\Rightarrow \dfrac{2b+a}{a}=\dfrac{2a+1}{3}\Leftrightarrow 6b+3a=2{{a}^{2}}+a$ (2*)
Thay (*) vào (2*), ta được:
$4a+3a=2{{a}^{2}}+a\Leftrightarrow 2a\left( a-3 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=0 \\
& a=3 \\
\end{aligned} \right.\xrightarrow{a>0}a=3\xrightarrow{\left( * \right)}b=2.$
Suy ra $T=a+b=5.$
Đáp án D.