Cho $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn $b>1$ và $\sqrt{a}\le...

Ta có $P=\dfrac{1}{{{\log }_{a}}\dfrac{a}{b}}+4{{\log }_{b}}\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{1-{{\log }_{a}}b}+4\left( {{\log }_{b}}a-1 \right)=\dfrac{1}{1-{{\log }_{a}}b}+\dfrac{4}{{{\log }_{a}}b}-4.$
Đặt $t={{\log }_{a}}b\Rightarrow P=\dfrac{1}{1-t}+\dfrac{4}{t}-4.$
Từ $a>\sqrt{a}\Rightarrow a>1\Rightarrow t={{\log }_{a}}b<{{\log }_{a}}a\Rightarrow t<1.$
Từ $b\ge \sqrt{a}\Rightarrow t={{\log }_{a}}b\ge {{\log }_{a}}\sqrt{a}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \dfrac{1}{2}\le t<1.$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{1}{1-t}+\dfrac{4}{t}-4$, với $t\in \left[ \dfrac{1}{2};1 \right)$ có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
t\in \left( \dfrac{1}{2};1 \right) \\
{f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{{{\left( 1-t \right)}^{2}}}-\dfrac{4}{{{t}^{2}}}=0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
t\in \left( \dfrac{1}{2};1 \right) \\
t=2\left( 1-t \right) \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow t=\dfrac{2}{3}.$
Xét bảng sau:

Từ đó $\underset{\left[ \dfrac{1}{2};1 \right)}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=5$.