Cho $a, b$ là các số thực dương thỏa mãn $b > 1$ và $\sqrt{a}\le...

The Knowledge · 21/12/21

Câu hỏi: Cho

a, b

là các số thực dương thỏa mãn

b > 1

và

\sqrt{a} \leq b < a .

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = \log_{\frac{a}{b}} a + 2 \log_{\sqrt{b}} (\frac{a}{b})

bằng
A. 6.
B. 7.
C. 5.
D. 4.

Ta có

P = \frac{1}{\log_{a} \frac{a}{b}} + 4 \log_{b} \frac{a}{b} = \frac{1}{1 - \log_{a} b} + 4 (\log_{b} a - 1) = \frac{1}{1 - \log_{a} b} + \frac{4}{\log_{a} b} - 4.

Đặt

t = \log_{a} b \Rightarrow P = \frac{1}{1 - t} + \frac{4}{t} - 4.

Từ

a > \sqrt{a} \Rightarrow a > 1 \Rightarrow t = \log_{a} b < \log_{a} a \Rightarrow t < 1.

Từ

b \geq \sqrt{a} \Rightarrow t = \log_{a} b \geq \log_{a} \sqrt{a} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} \leq t < 1.

Xét hàm số

f (t) = \frac{1}{1 - t} + \frac{4}{t} - 4

, với

t \in [\frac{1}{2}; 1)

có

{\begin{cases} t \in (\frac{1}{2}; 1) \\ f^{'} (t) = \frac{1}{{(1 - t)}^{2}} - \frac{4}{t^{2}} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} t \in (\frac{1}{2}; 1) \\ t = 2 (1 - t) \end{cases} \Leftrightarrow t = \frac{2}{3} .

Xét bảng sau:

Từ đó

min_{[\frac{1}{2}; 1)} f (t) = 5

.

Đáp án C.

Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn b>1 và $\sqrt{a}\le...