Google
Câu hỏi: Cho $a , b$ là các số thực dương khác $1$, đường thẳng $d$ song song trục hoành cắt trục tung, đồ thị hàm số $y={{a}^{x}}$, đồ thị hàm số $y={{b}^{x}}$ lần lượt tại $H$, $M$, $N$ (như hình bên). Biết $HM=3MN$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $4a=3b$.
B. ${{b}^{4}}={{a}^{3}}$.
C. ${{b}^{3}}={{a}^{4}}$.
D. $3a=4b$.
Đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số $y={{a}^{x}}$ tại điểm $M\left( {{x}_{M}}; {{y}_{M}} \right)$ $\Rightarrow {{y}_{M}}={{a}^{{{x}_{M}}}}$.
Đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số $y={{b}^{x}}$ tại điểm $N\left( {{x}_{N}}; {{y}_{N}} \right)$ $\Rightarrow {{y}_{N}}={{b}^{{{x}_{N}}}}$.
Mà ${{y}_{M}}={{y}_{N}}$ $\Rightarrow {{a}^{{{x}_{M}}}}={{b}^{{{x}_{N}}}}$.
Ta có: $HM=3MN$ $\Rightarrow HM=\dfrac{3}{4}HN$ $\Rightarrow {{x}_{M}}=\dfrac{3}{4}{{x}_{N}}$ $\Rightarrow {{a}^{\dfrac{3}{4}{{x}_{N}}}}={{b}^{{{x}_{N}}}}$ $\Leftrightarrow {{a}^{\dfrac{3}{4}}}=b$ $\Leftrightarrow {{a}^{3}}={{b}^{4}}$.
B. ${{b}^{4}}={{a}^{3}}$.
C. ${{b}^{3}}={{a}^{4}}$.
D. $3a=4b$.
Đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số $y={{a}^{x}}$ tại điểm $M\left( {{x}_{M}}; {{y}_{M}} \right)$ $\Rightarrow {{y}_{M}}={{a}^{{{x}_{M}}}}$.
Đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số $y={{b}^{x}}$ tại điểm $N\left( {{x}_{N}}; {{y}_{N}} \right)$ $\Rightarrow {{y}_{N}}={{b}^{{{x}_{N}}}}$.
Mà ${{y}_{M}}={{y}_{N}}$ $\Rightarrow {{a}^{{{x}_{M}}}}={{b}^{{{x}_{N}}}}$.
Ta có: $HM=3MN$ $\Rightarrow HM=\dfrac{3}{4}HN$ $\Rightarrow {{x}_{M}}=\dfrac{3}{4}{{x}_{N}}$ $\Rightarrow {{a}^{\dfrac{3}{4}{{x}_{N}}}}={{b}^{{{x}_{N}}}}$ $\Leftrightarrow {{a}^{\dfrac{3}{4}}}=b$ $\Leftrightarrow {{a}^{3}}={{b}^{4}}$.
Đáp án B.