Cho a, b, c là các số thực thuộc khoảng $(0; 1)$ ...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho a, b, c là các số thực thuộc khoảng

(0; 1)

, với

a^{x} = b c, b^{y} = c a, c^{z} = a b

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = x + y + 9 z

A. 6
B. 12
C. 14
D. 18

Với

a, b, c \in (0; 1) \Rightarrow x = \log_{a} (b c); y = \log_{b} (a c); z = \log_{c} (a b)

là các số dương.
Do đó áp dụng bất đẳng thức Cosi với các bộ hai số, ta có:

P = x + y + 9 z = \log_{a} (b c) + \log_{b} (a c) + 9 \log_{c} (a b)

= \log_{a} b + \log_{a} c + \log_{b} a + \log_{b} c + 9 (\log_{c} a + \log_{c} b)

= (\log_{a} b + \log_{b} a) + (\log_{a} c + 9 \log_{c} a) + (\log_{b} c + 9 \log_{c} b)

\overset{C o s i}{\geq} 2 \sqrt{\log_{a} b . \log_{b} a} + 2 \sqrt{9 \log_{a} c . \log_{c} a} + 2 \sqrt{9 \log_{b} c . \log_{c} b} = 2 + 6 + 6 = 14

Với

a = b = \frac{1}{2}; c = \frac{1}{8}

thì

P = 14 \Rightarrow P_{min} = 14

Đáp án C.

Cho a, b, c là các số thực thuộc khoảng (0;1)...