Google
Câu hỏi: Cho a, b, c là các số thực thuộc khoảng $\left( 0; 1 \right)$, với ${{a}^{x}}=bc, {{b}^{y}}=ca, {{c}^{z}}=ab$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+y+9\text{z}$
A. 6
B. 12
C. 14
D. 18
A. 6
B. 12
C. 14
D. 18
Với $a, b, c\in \left( 0; 1 \right)\Rightarrow x={{\log }_{a}}\left( bc \right); y={{\log }_{b}}\left( ac \right); z={{\log }_{c}}\left( ab \right)$ là các số dương.
Do đó áp dụng bất đẳng thức Cosi với các bộ hai số, ta có:
$P=x+y+9\text{z}={{\log }_{a}}\left( bc \right)+{{\log }_{b}}\left( ac \right)+9{{\log }_{c}}\left( ab \right)$
$={{\log }_{a}}b+{{\log }_{a}}c+{{\log }_{b}}a+{{\log }_{b}}c+9\left( {{\log }_{c}}a+{{\log }_{c}}b \right)$
$=\left( {{\log }_{a}}b+{{\log }_{b}}a \right)+\left( {{\log }_{a}}c+9{{\log }_{c}}a \right)+\left( {{\log }_{b}}c+9{{\log }_{c}}b \right)$
$\overset{Cosi}{\mathop{\ge }} 2\sqrt{{{\log }_{a}}b.{{\log }_{b}}a}+2\sqrt{9{{\log }_{a}}c.{{\log }_{c}}a}+2\sqrt{9{{\log }_{b}}c.{{\log }_{c}}b}=2+6+6=14$
Với $a=b=\dfrac{1}{2}; c=\dfrac{1}{8}$ thì $P=14\Rightarrow {{P}_{\min }}=14$
Do đó áp dụng bất đẳng thức Cosi với các bộ hai số, ta có:
$P=x+y+9\text{z}={{\log }_{a}}\left( bc \right)+{{\log }_{b}}\left( ac \right)+9{{\log }_{c}}\left( ab \right)$
$={{\log }_{a}}b+{{\log }_{a}}c+{{\log }_{b}}a+{{\log }_{b}}c+9\left( {{\log }_{c}}a+{{\log }_{c}}b \right)$
$=\left( {{\log }_{a}}b+{{\log }_{b}}a \right)+\left( {{\log }_{a}}c+9{{\log }_{c}}a \right)+\left( {{\log }_{b}}c+9{{\log }_{c}}b \right)$
$\overset{Cosi}{\mathop{\ge }} 2\sqrt{{{\log }_{a}}b.{{\log }_{b}}a}+2\sqrt{9{{\log }_{a}}c.{{\log }_{c}}a}+2\sqrt{9{{\log }_{b}}c.{{\log }_{c}}b}=2+6+6=14$
Với $a=b=\dfrac{1}{2}; c=\dfrac{1}{8}$ thì $P=14\Rightarrow {{P}_{\min }}=14$
Đáp án C.