Google
Câu hỏi: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\sqrt{\dfrac{a+bc}{1+\sqrt{bc}}}+\sqrt{\dfrac{b+ca}{1+\sqrt{ca}}}+\sqrt{c+2021}$ bằng
A. $\dfrac{2\sqrt{3}+\sqrt{51}}{3}.$
B. $\sqrt{2021}+2.$
C. $\sqrt{2021}.$
D. $\sqrt{2022}.$
A. $\dfrac{2\sqrt{3}+\sqrt{51}}{3}.$
B. $\sqrt{2021}+2.$
C. $\sqrt{2021}.$
D. $\sqrt{2022}.$
Ta có: $a+bc\ge a\left( a+b+c \right)\ge {{a}^{2}}+2a\sqrt{bc}\ge {{a}^{2}}\left( 1+\sqrt{bc} \right)\Rightarrow \sqrt{\dfrac{a+bc}{1+\sqrt{bc}}}\ge a.$
Tương tự ta có: $\sqrt{\dfrac{b+ca}{1+\sqrt{ca}}}\ge b.$
Suy ra: $A\ge a+b+\sqrt{c+2021}=1-c+\sqrt{c+2021}$
Xét hàm số $f\left( c \right)=-c+\sqrt{c+2021};c\in \left[ 0;1 \right]$
Ta có $f'\left( c \right)=-1+\dfrac{1}{2\sqrt{c+2021}}<c,\forall c\in \left[ 0;1 \right].$
Vậy $f\left( c \right)$ là hàm số nghịch biến nên ta có $f\left( c \right)\ge f\left( 1 \right)=\sqrt{2022}.$
Tương tự ta có: $\sqrt{\dfrac{b+ca}{1+\sqrt{ca}}}\ge b.$
Suy ra: $A\ge a+b+\sqrt{c+2021}=1-c+\sqrt{c+2021}$
Xét hàm số $f\left( c \right)=-c+\sqrt{c+2021};c\in \left[ 0;1 \right]$
Ta có $f'\left( c \right)=-1+\dfrac{1}{2\sqrt{c+2021}}<c,\forall c\in \left[ 0;1 \right].$
Vậy $f\left( c \right)$ là hàm số nghịch biến nên ta có $f\left( c \right)\ge f\left( 1 \right)=\sqrt{2022}.$
Đáp án D.