Cho $a, b, c$ là các số thực biết ${{\log }_{2}}\left(...

The Professor · 15/12/21

Câu hỏi: Cho

a, b, c

là các số thực biết

\log_{2} (\frac{a + b + c}{a^{2} + b^{2} + c^{2} - 1}) = a (a - 2) + b (b - 2) + c (c - 2)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = \frac{3 a + 2 b + c}{a + b + c}

A.

\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}

B.

\frac{8 + 2 \sqrt{2}}{3}

C.

\frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}

D.

\frac{4 + 2 \sqrt{2}}{3}

Ta có:

\log_{2} \frac{a + b + c}{a^{2} + b^{2} + c^{2} + 1} = a (a - 2) + b (b - 2) + c (c - 2)

\log_{2} (a + b + c) + 2 (a + b + c) + 1 = \log_{2} (a^{2} + b^{2} + c^{2} + 1) + a^{2} + b^{2} + c^{2} + 1

\log_{2} (2 a + 2 b + 2 c) + 2 a + 2 b + 2 c = \log_{2} (a^{2} + b^{2} + c^{2} + 1) + a^{2} + b^{2} + c^{2} + 1 (*)

Xét hàm

f (t) = \log_{2} t + t

(với

t > 0

)
Ta có,

f^{'} (t) = \frac{1}{t \ln 2} + 1 > 0, \forall t \in (0; + \infty)

nên hàm số

f (t)

đồng biến trên

(0; + \infty)

.
Nhận thấy:

f (2 a + 2 b + 2 c) = f (a^{2} + b^{2} + c^{2} + 1)

, nên

2 a + 2 b + 2 c = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 1

là nghiệm duy nhất của phương trình (*) hay

{(a - 1)}^{2} + {(b - 1)}^{2} + {(c - 1)}^{2} = 2

Ta lại có,

P = \frac{3 a + 2 b + c}{a + b + c} \Leftrightarrow (P - 3) (a - 1) + (P - 2) (b - 1) + (P - 1) (c - 1) = 6 - 3 P (* *)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:

{(6 - 3 P)}^{2} = {[(P - 3) (a - 1) + (P - 2) (b - 1) + (P - 1) (c - 1)]}^{2}

\leq 2 [{(P - 3)}^{2} + {(P - 2)}^{2} + {(P - 1)}^{2}] \Leftrightarrow 3 P^{2} - 12 P + 8 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3} \leq P \leq \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}

Vậy

P_{max} = \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}

khi

a = \frac{\sqrt{3} + 1}{3}, b = \frac{1}{3}, c = \frac{1 - \sqrt{3}}{3}

Đáp án C.

Cho a,b,c là các số thực biết ${{\log }_{2}}\left(...