Google
Câu hỏi: Cho $a,b,c$ là các số thực biết ${{\log }_{2}}\left( \dfrac{a+b+c}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-1} \right)=a\left( a-2 \right)+b\left( b-2 \right)+c\left( c-2 \right)$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\dfrac{3a+2b+c}{a+b+c}$
A. $\dfrac{6-2\sqrt{3}}{3}$
B. $\dfrac{8+2\sqrt{2}}{3}$
C. $\dfrac{6+2\sqrt{3}}{3}$
D. $\dfrac{4+2\sqrt{2}}{3}$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\dfrac{3a+2b+c}{a+b+c}$
A. $\dfrac{6-2\sqrt{3}}{3}$
B. $\dfrac{8+2\sqrt{2}}{3}$
C. $\dfrac{6+2\sqrt{3}}{3}$
D. $\dfrac{4+2\sqrt{2}}{3}$
Ta có: ${{\log }_{2}}\dfrac{a+b+c}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1}=a\left( a-2 \right)+b\left( b-2 \right)+c\left( c-2 \right)$
${{\log }_{2}}\left( a+b+c \right)+2\left( a+b+c \right)+1={{\log }_{2}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1 \right)+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1$
${{\log }_{2}}\left( 2a+2b+2c \right)+2a+2b+2c={{\log }_{2}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1 \right)+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1\left( * \right)$
Xét hàm $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t$ (với $t>0$ )
Ta có, ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}+1>0,\forall t\in \left( 0;+\infty \right)$ nên hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Nhận thấy: $f\left( 2a+2b+2c \right)=f\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1 \right)$, nên $2a+2b+2c={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1$ là nghiệm duy nhất của phương trình (*) hay ${{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}=2$
Ta lại có, $P=\dfrac{3a+2b+c}{a+b+c}\Leftrightarrow \left( P-3 \right)\left( a-1 \right)+\left( P-2 \right)\left( b-1 \right)+\left( P-1 \right)\left( c-1 \right)=6-3P\left( ** \right)$
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:
${{\left( 6-3P \right)}^{2}}={{\left[ \left( P-3 \right)\left( a-1 \right)+\left( P-2 \right)\left( b-1 \right)+\left( P-1 \right)\left( c-1 \right) \right]}^{2}}$
$\le 2\left[ {{\left( P-3 \right)}^{2}}+{{\left( P-2 \right)}^{2}}+{{\left( P-1 \right)}^{2}} \right]\Leftrightarrow 3{{P}^{2}}-12P+8\le 0\Leftrightarrow \dfrac{6-2\sqrt{3}}{3}\le P\le \dfrac{6+2\sqrt{3}}{3}$
Vậy ${{P}_{\max }}=\dfrac{6+2\sqrt{3}}{3}$ khi $a=\dfrac{\sqrt{3}+1}{3},b=\dfrac{1}{3},c=\dfrac{1-\sqrt{3}}{3}$
${{\log }_{2}}\left( a+b+c \right)+2\left( a+b+c \right)+1={{\log }_{2}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1 \right)+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1$
${{\log }_{2}}\left( 2a+2b+2c \right)+2a+2b+2c={{\log }_{2}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1 \right)+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1\left( * \right)$
Xét hàm $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t$ (với $t>0$ )
Ta có, ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}+1>0,\forall t\in \left( 0;+\infty \right)$ nên hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Nhận thấy: $f\left( 2a+2b+2c \right)=f\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1 \right)$, nên $2a+2b+2c={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1$ là nghiệm duy nhất của phương trình (*) hay ${{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}=2$
Ta lại có, $P=\dfrac{3a+2b+c}{a+b+c}\Leftrightarrow \left( P-3 \right)\left( a-1 \right)+\left( P-2 \right)\left( b-1 \right)+\left( P-1 \right)\left( c-1 \right)=6-3P\left( ** \right)$
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:
${{\left( 6-3P \right)}^{2}}={{\left[ \left( P-3 \right)\left( a-1 \right)+\left( P-2 \right)\left( b-1 \right)+\left( P-1 \right)\left( c-1 \right) \right]}^{2}}$
$\le 2\left[ {{\left( P-3 \right)}^{2}}+{{\left( P-2 \right)}^{2}}+{{\left( P-1 \right)}^{2}} \right]\Leftrightarrow 3{{P}^{2}}-12P+8\le 0\Leftrightarrow \dfrac{6-2\sqrt{3}}{3}\le P\le \dfrac{6+2\sqrt{3}}{3}$
Vậy ${{P}_{\max }}=\dfrac{6+2\sqrt{3}}{3}$ khi $a=\dfrac{\sqrt{3}+1}{3},b=\dfrac{1}{3},c=\dfrac{1-\sqrt{3}}{3}$
Đáp án C.