Google
Câu hỏi: Cho a, b, c >0. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $H=\dfrac{3{{a}^{4}}+12{{b}^{4}}+25{{c}^{3}}+2}{{{\left( a+\sqrt{2}b+c \right)}^{3}}}$ thuộc tập hợp nào dưới đây?
A. $\left( \dfrac{5}{6};2 \right).$
B. $\left[ \dfrac{13}{8};2 \right].$
C. $\left[ \dfrac{2}{3};2 \right].$
D. $\left[ 0;\dfrac{1}{3} \right].$
A. $\left( \dfrac{5}{6};2 \right).$
B. $\left[ \dfrac{13}{8};2 \right].$
C. $\left[ \dfrac{2}{3};2 \right].$
D. $\left[ 0;\dfrac{1}{3} \right].$
Đặt $a=x,\sqrt{2}b=y,c=z\to H=\dfrac{3{{x}^{4}}+3{{y}^{4}}+25{{z}^{3}}+2}{{{\left( x+y+z \right)}^{3}}}$
Áp dụng bất đẳng thức Cosi: $\left\{ \begin{aligned}
& 3{{x}^{4}}+1={{x}^{4}}+{{x}^{4}}+{{x}^{4}}+1\ge 4\sqrt[4]{{{x}^{4}}.{{x}^{4}}.{{x}^{4}}.1}=4{{x}^{3}} \\
& 3{{y}^{4}}+1={{y}^{4}}+{{y}^{4}}+{{y}^{4}}+1\ge 4\sqrt[4]{{{y}^{4}}.{{y}^{4}}.{{y}^{4}}.1}=4{{y}^{3}} \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó $3{{x}^{4}}+3{{y}^{4}}+2\ge 4\left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}} \right)\ge {{\left( x+y \right)}^{3}}\to H\ge \dfrac{{{\left( x+y \right)}^{3}}+25{{z}^{3}}}{{{\left( x+y+z \right)}^{3}}}=\dfrac{{{\left( \dfrac{x+y}{z} \right)}^{3}}+25}{{{\left( \dfrac{x+y}{z}+1 \right)}^{3}}}$
Đặt $t=\dfrac{x+y}{z}>0\to H\ge f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{3}}+25}{{{\left( t+1 \right)}^{3}}}$. Bấm máy ta được $\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=\dfrac{25}{36}$.
Áp dụng bất đẳng thức Cosi: $\left\{ \begin{aligned}
& 3{{x}^{4}}+1={{x}^{4}}+{{x}^{4}}+{{x}^{4}}+1\ge 4\sqrt[4]{{{x}^{4}}.{{x}^{4}}.{{x}^{4}}.1}=4{{x}^{3}} \\
& 3{{y}^{4}}+1={{y}^{4}}+{{y}^{4}}+{{y}^{4}}+1\ge 4\sqrt[4]{{{y}^{4}}.{{y}^{4}}.{{y}^{4}}.1}=4{{y}^{3}} \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó $3{{x}^{4}}+3{{y}^{4}}+2\ge 4\left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}} \right)\ge {{\left( x+y \right)}^{3}}\to H\ge \dfrac{{{\left( x+y \right)}^{3}}+25{{z}^{3}}}{{{\left( x+y+z \right)}^{3}}}=\dfrac{{{\left( \dfrac{x+y}{z} \right)}^{3}}+25}{{{\left( \dfrac{x+y}{z}+1 \right)}^{3}}}$
Đặt $t=\dfrac{x+y}{z}>0\to H\ge f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{3}}+25}{{{\left( t+1 \right)}^{3}}}$. Bấm máy ta được $\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=\dfrac{25}{36}$.
Đáp án C.