Cho $a, b > 0$ thỏa mãn ${{\log }_{2a+3b+1}}\left(...

The Knowledge · 18/12/21

Câu hỏi: Cho

a, b > 0

thỏa mãn

\log_{2 a + 3 b + 1} (25 a^{2} + b^{2} + 1) + \log_{10 a b + 1} (2 a + 3 b + 1) = 2

. Giá trị của

a + 4 b

bằng
A. 5.
B. 6.
C.

\frac{357}{50}

.
D.

\frac{407}{50}

.

Với

a, b > 0 \Rightarrow {\begin{aligned} 25 a^{2} + b^{2} + 1 > 1 \\ 2 a + 3 b + 1 > 1 \\ 10 a b + 1 > 0 \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} \log_{2 a + 3 b + 1} (25 a^{2} + b^{2} + 1) > 0 \\ \log_{10 a b + 1} (2 a + 3 b + 1) > 0 \end{aligned}

Ta có

P = \log_{2 a + 3 b + 1} (25 a^{2} + b^{2} + 1) + \log_{10 a b + 1} (2 a + 3 b + 1)

\geq \log_{2 a + 3 b + 1} (10 a b + 1) + \log_{10 a b + 1} (2 a + 3 b + 1)

\geq 2 \sqrt{\log_{2 a + 3 b + 1} (10 a b + 1) . \log_{10 a b + 1} (2 a + 3 b + 1)} = 2

.
Dấu "=" xảy ra

\Leftrightarrow {\begin{aligned} 5 a = b \\ \log_{2 a + 3 b + 1} (10 a b + 1) = 1 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} 5 a = b \\ 10 a b + 1 = 2 a + 3 b + 1 \end{aligned}

\Rightarrow 50 a^{2} = 2 a + 15 a \Rightarrow a = \frac{17}{50} \Rightarrow b = \frac{17}{10}

.

Đáp án C.

Cho a,b>0 thỏa mãn ${{\log }_{2a+3b+1}}\left(...