Google
Câu hỏi: Cho $a, b>0, a\ne 1, b\ne 1, n\in \mathbb{N}*$. Một học sinh đã tính giá trị của biểu thức $P=\dfrac{1}{{{\log }_{a}}b}+\dfrac{1}{{{\log }_{{{a}^{2}}}}b}+\dfrac{1}{{{\log }_{{{a}^{3}}}}b}+...+\dfrac{1}{{{\log }_{{{a}^{n}}}}b}$ như sau:
Bước 1: $P={{\log }_{b}}a+{{\log }_{b}}{{a}^{2}}+{{\log }_{b}}{{a}^{3}}+...+{{\log }_{b}}{{a}^{n}}$
Bước 2: $P={{\log }_{b}}\left( a.{{a}^{2}}.{{a}^{3}}...{{a}^{n}} \right)$
Bước 3: $P={{\log }_{b}}{{a}^{1+2+3+...+n}}$
Bước 4: $P=n\left( n-1 \right){{\log }_{b}}\sqrt{a}$
Hỏi bạn học sinh đó đã giải sai từ bước nào?
A. Bước 1
B. Bước 2
C. Bước 3
D. Bước 4
Bước 1: $P={{\log }_{b}}a+{{\log }_{b}}{{a}^{2}}+{{\log }_{b}}{{a}^{3}}+...+{{\log }_{b}}{{a}^{n}}$
Bước 2: $P={{\log }_{b}}\left( a.{{a}^{2}}.{{a}^{3}}...{{a}^{n}} \right)$
Bước 3: $P={{\log }_{b}}{{a}^{1+2+3+...+n}}$
Bước 4: $P=n\left( n-1 \right){{\log }_{b}}\sqrt{a}$
Hỏi bạn học sinh đó đã giải sai từ bước nào?
A. Bước 1
B. Bước 2
C. Bước 3
D. Bước 4
Ta có: $1+2+3+...+n=\dfrac{n\left( n+1 \right)}{2}$
Do đó: $P={{\log }_{b}}{{a}^{1+2+3+...+n}}={{\log }_{b}}{{a}^{\dfrac{n\left( n+1 \right)}{2}}}=n\left( n+1 \right){{\log }_{b}}\sqrt{a}$
Vậy bạn học sinh đó đã giải sai từ bước 4
Do đó: $P={{\log }_{b}}{{a}^{1+2+3+...+n}}={{\log }_{b}}{{a}^{\dfrac{n\left( n+1 \right)}{2}}}=n\left( n+1 \right){{\log }_{b}}\sqrt{a}$
Vậy bạn học sinh đó đã giải sai từ bước 4
Đáp án D.