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Câu hỏi: Cho $A={{2}^{a}}.{{\left( {{2}^{a}}{{.2}^{{{a}^{2}}}}{{.2}^{{{a}^{3}}}}{{...2}^{{{a}^{9}}}} \right)}^{a-1}}$. Giá trị của a khi $A={{2}^{{{2}^{5}}}}$ ?
A. $a=2$
B. $a=\sqrt{2}$
C. $a=5$
D. $a=4$
A. $a=2$
B. $a=\sqrt{2}$
C. $a=5$
D. $a=4$
Ta có:
$S=a+{{a}^{2}}+...+{{a}^{9}}\Rightarrow a.S={{a}^{2}}+{{a}^{3}}+...+{{a}^{10}}\Rightarrow \left( a-1 \right)S={{a}^{10}}-a$
$A={{2}^{a}}.{{\left( {{2}^{S}} \right)}^{a-1}}={{2}^{S.\left( a-1 \right)+a}}={{2}^{{{a}^{10}}}}={{2}^{{{2}^{5}}}}\Rightarrow {{a}^{10}}={{2}^{5}}\Rightarrow {{a}^{10}}={{\left( \sqrt{2} \right)}^{10}}\Rightarrow a=\sqrt{2}$
$S=a+{{a}^{2}}+...+{{a}^{9}}\Rightarrow a.S={{a}^{2}}+{{a}^{3}}+...+{{a}^{10}}\Rightarrow \left( a-1 \right)S={{a}^{10}}-a$
$A={{2}^{a}}.{{\left( {{2}^{S}} \right)}^{a-1}}={{2}^{S.\left( a-1 \right)+a}}={{2}^{{{a}^{10}}}}={{2}^{{{2}^{5}}}}\Rightarrow {{a}^{10}}={{2}^{5}}\Rightarrow {{a}^{10}}={{\left( \sqrt{2} \right)}^{10}}\Rightarrow a=\sqrt{2}$
Đáp án B.