T

Cho A (1; 4; 2), B (-1; 2; 4), đường thẳng $d:\left\{...

Câu hỏi: Cho A (1; 4; 2), B (-1; 2; 4), đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=5-4t \\
& y=2+2t \\
& z=4+t \\
\end{aligned} \right.$ và điểm M thuộc d. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMB
A. $2\sqrt{3}$
B. $2\sqrt{2}$
C. $3\sqrt{2}$
D. $6\sqrt{2}$
Phương pháp:
- Gọi tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d .
- Tính diện tích tam giác MAB và đánh giá GTNN của của diện tích.
Công thức tính diện tích: ${{S}_{MAB}}=\dfrac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB} \right] \right|$
Cách giải:
Gọi M(5 - 4t; 2 + 2t; 4 + t) d
$\begin{aligned}
& \Rightarrow \overrightarrow{MA}=\left( -4+4t;2-2t;-2-t \right), \overrightarrow{MB}=\left( -6+4t;-2t;-t \right) \\
& \Rightarrow \left[ \overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB} \right]=\left( -6t;-6t+12;-12t+12 \right) \\
& \Rightarrow \left| \left[ \overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB} \right] \right|=\sqrt{36{{t}^{2}}+36{{\left( t-2 \right)}^{2}}+144{{\left( t-1 \right)}^{2}}}=6\sqrt{8{{t}^{2}}-16t+10}=6\sqrt{8{{\left( t-1 \right)}^{2}}+2} \\
& \Rightarrow {{S}_{MAB}}=\dfrac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB} \right] \right|=3\sqrt{8{{\left( t-1 \right)}^{2}}+2}\ge 3\sqrt{2}. \\
\end{aligned}$
Dấu “=” xảy ra khi t = 1 M (1; 4; 5).
Vậy diện tích tam giác MAB nhỏ nhất bằng $3\sqrt{2}$ khi M (1; 4; 5).
Đáp án C.
 

Quảng cáo

Top