Cho $a>0$, $b>0$ thỏa mãn ${{\log...

Với $a>0$, $b>0$ ta có $25{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1\ge 10ab+1$, dấu " $=$ " xảy ra khi và chỉ khi $b=5a$.
Suy ra ${{\log }_{10a+3b+1}}\left(25{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1 \right)\ge {{\log }_{10+3a+1}}\left(10ab+1 \right)$, dấu " $=$ " xảy ra khi và chỉ khi $b=5a$.
Ta lại có với $a>0$, $b>0$ thì ${{\log }_{10a+3b+1}}\left(10ab+1 \right)>0$, ${{\log }_{10ab+1}}\left(10a+3b+1 \right)>0$.
Do đó
$\begin{aligned}
& {{\log }_{10a+3b+1}}\left(25{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1 \right)+{{\log }_{10ab+1}}\left(10a+3b+1 \right)\ge {{\log }_{10a+3b+1}}\left(10ab+1 \right)+{{\log }_{10ab+1}}\left(10a+3b+1 \right) \\
& \ge 2\sqrt{{{\log }_{10a+3b+1}}\left(10ab+1 \right)\cdot {{\log }_{10ab+1}}\left(10a+3b+1 \right)}=2. \\
\end{aligned} $
Dấu " $ =$ " xảy ra khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{aligned}
& b=5a \\
& {{\log }_{10a+3b+1}}\left(10ab+1 \right)={{\log }_{10ab+1}}\left(10a+3b+1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=5a \\
& 10a+3b+1=10ab+1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=\dfrac{5}{2} \\
& a=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $a+2b=\dfrac{11}{2}$.