Google
Câu hỏi: Cho $a>0,b>0$ thỏa mãn ${{\log }_{2a+2b+1}}\left( 4{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1 \right)+{{\log }_{4ab+1}}\left( 2a+2b+1 \right)=2$. Giá trị của $a+2b$ bằng
A. $\dfrac{15}{4}$
B. 5
C. 4
D. $\dfrac{3}{2}$
A. $\dfrac{15}{4}$
B. 5
C. 4
D. $\dfrac{3}{2}$
Ta có: $4{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 4ab$, với mọi $a,b>0$. Dấu '=' xảy ra khi $b=2a$ (1).
Khi đó $2={{\log }_{2a+2b+1}}\left( 4{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1 \right)+{{\log }_{4ab+1}}\left( 2a+2b+1 \right)$
$\ge {{\log }_{2a+2b+1}}\left( 4ab+1 \right)+{{\log }_{4ab+1}}\left( 2a+2b+1 \right)$
Mặt khác, theo bất đẳng thức cauchy ta có: ${{\log }_{2a+2b+1}}\left( 4ab+1 \right)+{{\log }_{4ab+1}}\left( 2a+2b+1 \right)\ge 2$
Dấu '=' xảy ra khi ${{\log }_{2a+2b+1}}\left( 4ab+1 \right)=1\Leftrightarrow 4ab+1=2a+2b+1\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) ta có: $8{{a}^{2}}-6a=0\Leftrightarrow a=\dfrac{3}{4}$. Suy ra $b=\dfrac{3}{2}$. Vậy $a+2b=\dfrac{15}{4}$
Khi đó $2={{\log }_{2a+2b+1}}\left( 4{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1 \right)+{{\log }_{4ab+1}}\left( 2a+2b+1 \right)$
$\ge {{\log }_{2a+2b+1}}\left( 4ab+1 \right)+{{\log }_{4ab+1}}\left( 2a+2b+1 \right)$
Mặt khác, theo bất đẳng thức cauchy ta có: ${{\log }_{2a+2b+1}}\left( 4ab+1 \right)+{{\log }_{4ab+1}}\left( 2a+2b+1 \right)\ge 2$
Dấu '=' xảy ra khi ${{\log }_{2a+2b+1}}\left( 4ab+1 \right)=1\Leftrightarrow 4ab+1=2a+2b+1\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) ta có: $8{{a}^{2}}-6a=0\Leftrightarrow a=\dfrac{3}{4}$. Suy ra $b=\dfrac{3}{2}$. Vậy $a+2b=\dfrac{15}{4}$
Đáp án A.