Cho 4 điểm $A\left( 3;-2;-2 \right);B\left( 3;2;0 \right);C\left(...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Cho 4 điểm

A (3; - 2; - 2); B (3; 2; 0); C (0; 2; 1); D (- 1; 1; 2) .

Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng

(B C D)

có phương trình là
A.

{(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = \sqrt{14} .

B.

{(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 14.

C.

{(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = \sqrt{14} .

D.

{(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 14.

Ta có

\vec{B C} = (- 3; 0; 1); \vec{B D} = (- 4; - 1; 2) \Rightarrow [\vec{B C}; \vec{B D}] = (1; 2; 3)

Mặt phẳng

(B C D)

đi qua

B (3; 2; 0)

và có 1 vectơ pháp tuyến là

\vec{n} = [\vec{B C}; \vec{B D}] = (1; 2; 3)

nên phương trình mặt phẳng

(B C D)

là

1 (x - 3) + 2 (y - 2) + 3 (z - 0) = 0 \Leftrightarrow x + 2 y + 3 z - 7 = 0

Vì mặt cầu

(S)

tâm A tiếp xúc với mặt phẳng

(B C D)

nên bán kính mặt cầu là

R = d (A; (B C D)) = \frac{| 3 + 2. (- 2) + 3. (- 2) - 7 |}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 3^{2}}} = \sqrt{14}

Phương trình mặt cầu

(S)

là

{(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 14.

+ Mặt cầu

(S)

có tâm

I (x_{0}; y_{0}; z_{0})

và tiếp xúc với mặt phẳng

(P)

thì có bán kính

R = d (I; (P))

và phương trình mặt cầu là

{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} + {(z - z_{0})}^{2} = R^{2} .

+ Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C có 1 vectơ pháp tuyến là

\vec{n} = [\vec{A B}; \vec{A C}] .

Đáp án B.