Google
Câu hỏi: Cho 4 điểm $A\left( 3;-2;-2 \right);B\left( 3;2;0 \right);C\left( 0;2;1 \right);D\left( -1;1;2 \right).$ Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( BCD \right)$ có phương trình là
A. ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=\sqrt{14}.$
B. ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=14.$
C. ${{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=\sqrt{14}.$
D. ${{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=14.$
A. ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=\sqrt{14}.$
B. ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=14.$
C. ${{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=\sqrt{14}.$
D. ${{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=14.$
Ta có $\overrightarrow{BC}=\left( -3;0;1 \right);\overrightarrow{BD}=\left( -4;-1;2 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{BC};\overrightarrow{BD} \right]=\left( 1;2;3 \right)$
Mặt phẳng $\left( BCD \right)$ đi qua $B\left( 3;2;0 \right)$ và có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{BC};\overrightarrow{BD} \right]=\left( 1;2;3 \right)$ nên phương trình mặt phẳng $\left( BCD \right)$ là $1\left( x-3 \right)+2\left( y-2 \right)+3\left( z-0 \right)=0\Leftrightarrow x+2y+3z-7=0$
Vì mặt cầu $\left( S \right)$ tâm A tiếp xúc với mặt phẳng $\left( BCD \right)$ nên bán kính mặt cầu là
$\text{R}=d\left( A;\left( BCD \right) \right)=\dfrac{\left| 3+2.\left( -2 \right)+3.\left( -2 \right)-7 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\sqrt{14}$
Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=14.$
Mặt phẳng $\left( BCD \right)$ đi qua $B\left( 3;2;0 \right)$ và có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{BC};\overrightarrow{BD} \right]=\left( 1;2;3 \right)$ nên phương trình mặt phẳng $\left( BCD \right)$ là $1\left( x-3 \right)+2\left( y-2 \right)+3\left( z-0 \right)=0\Leftrightarrow x+2y+3z-7=0$
Vì mặt cầu $\left( S \right)$ tâm A tiếp xúc với mặt phẳng $\left( BCD \right)$ nên bán kính mặt cầu là
$\text{R}=d\left( A;\left( BCD \right) \right)=\dfrac{\left| 3+2.\left( -2 \right)+3.\left( -2 \right)-7 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\sqrt{14}$
Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=14.$
| + Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right)$ thì có bán kính $R=d\left( I;\left( P \right) \right)$ và phương trình mặt cầu là ${{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( y-{{y}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( z-{{z}_{0}} \right)}^{2}}={{R}^{2}}.$ + Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right].$ |
Đáp án B.