Cho 3 số thực $a,b,c$ thỏa mãn ${{\log...

Biến đổi giả thiết ta có: ${{\log }_{2}}\dfrac{a+b+c}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2}=a(a-4)+b(b-4)+c(c-4)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}(a+b+c)+2+4(a+b+c)={{\log }_{2}}({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2)+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}4(a+b+c)+4(a+b+c)={{\log }_{2}}({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2)+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2$
Xét hàm số $f(t)={{\log }_{2}}t+t$ đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$
Khi đó $f\left[ 4(a+b+c) \right]=f({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2)\Leftrightarrow 4(a+b+c)={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2$
$\Leftrightarrow {{(a-2)}^{2}}+{{(b-2)}^{2}}+{{(c-2)}^{2}}=10(S)$
Điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt cầu $(S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=10$
Mặt khác $P=\dfrac{a+2b+3c}{a+b+c}\Leftrightarrow a(P-1)+b(P-2)+c(P-3)=0(P)$
Điều kiện để (P) và (S) có giao điểm là
$d(I;(P))\le R(I;(2;2;2);R=\sqrt{10})\Leftrightarrow \dfrac{\left| 6P-12 \right|}{\sqrt{3{{P}^{2}}-12P+14}}\le \sqrt{10}$
$\Leftrightarrow P\le \dfrac{6+\sqrt{30}}{3}$. Chọn D.