Google
Câu hỏi: Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn ${{\log }_{2}}\dfrac{a+b+c}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2}=a\left( a-4 \right)+b\left( b-4 \right)+c\left( c-4 \right)$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\dfrac{a+2b+3c}{a+b+c}$.
A. $\dfrac{12+\sqrt{30}}{3}$.
B. $\dfrac{4+\sqrt{30}}{3}$.
C. $\dfrac{8+\sqrt{30}}{3}$.
D. $\dfrac{6+\sqrt{30}}{3}$.
A. $\dfrac{12+\sqrt{30}}{3}$.
B. $\dfrac{4+\sqrt{30}}{3}$.
C. $\dfrac{8+\sqrt{30}}{3}$.
D. $\dfrac{6+\sqrt{30}}{3}$.
Biến đổi giả thiết ta có: ${{\log }_{2}}\dfrac{a+b+c}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2}=a\left( a-4 \right)+b\left( b-4 \right)+c\left( c-4 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( a+b+c \right)+2+4\left( a+b+c \right)={{\log }_{2}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2 \right)+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}4\left( a+b+c \right)+4\left( a+b+c \right)={{\log }_{2}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2 \right)+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$
Khi đó $f\left[ 4\left( a+b+c \right) \right]=f\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2 \right)\Leftrightarrow 4\left( a+b+c \right)={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2$
$\Leftrightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}+{{\left( c-2 \right)}^{2}}=10$ $\left( S \right)$
Điểm $M\left( a;b;c \right)$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ : ${{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}+{{\left( c-2 \right)}^{2}}=10$
Mặt khác $P=\dfrac{a+2b+3c}{a+b+c}\Leftrightarrow a\left( P-1 \right)+b\left( P-2 \right)+c\left( P-3 \right)=0$ $\left( P \right)$
Điều kiện để $\left( P \right)$ và $\left( S \right)$ có giao điểm là $d\left( I;\left( P \right) \right)\le R\left( I\left( 2;2;2 \right);R=\sqrt{10} \right)\Leftrightarrow \dfrac{\left| 6P-12 \right|}{\sqrt{3{{P}^{2}}-12P+14}}\le \sqrt{10}$
$\Leftrightarrow P\le \dfrac{6+\sqrt{30}}{3}$.
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( a+b+c \right)+2+4\left( a+b+c \right)={{\log }_{2}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2 \right)+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}4\left( a+b+c \right)+4\left( a+b+c \right)={{\log }_{2}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2 \right)+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$
Khi đó $f\left[ 4\left( a+b+c \right) \right]=f\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2 \right)\Leftrightarrow 4\left( a+b+c \right)={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2$
$\Leftrightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}+{{\left( c-2 \right)}^{2}}=10$ $\left( S \right)$
Điểm $M\left( a;b;c \right)$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ : ${{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}+{{\left( c-2 \right)}^{2}}=10$
Mặt khác $P=\dfrac{a+2b+3c}{a+b+c}\Leftrightarrow a\left( P-1 \right)+b\left( P-2 \right)+c\left( P-3 \right)=0$ $\left( P \right)$
Điều kiện để $\left( P \right)$ và $\left( S \right)$ có giao điểm là $d\left( I;\left( P \right) \right)\le R\left( I\left( 2;2;2 \right);R=\sqrt{10} \right)\Leftrightarrow \dfrac{\left| 6P-12 \right|}{\sqrt{3{{P}^{2}}-12P+14}}\le \sqrt{10}$
$\Leftrightarrow P\le \dfrac{6+\sqrt{30}}{3}$.
Đáp án D.