Google
Câu hỏi: Cho 3 số phức $z,{{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| z-1+2i \right|=\left| z+3-4i \right|$, $\left| {{z}_{1}}+5-2i \right|=2$, $\left| {{z}_{2}}-1-6i \right|=2$. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-{{z}_{2}} \right|+4$.
A. $\dfrac{2\sqrt{3770}}{13}$.
B. $\dfrac{\sqrt{10361}}{13}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3770}}{13}$.
D. $\dfrac{\sqrt{10361}}{26}$.
$\left| z-1+2i \right|=\left| z+3-4i \right|\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}={{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 2x-3y+5=0$
Vậy điểm M biểu diễn số phức $z$ là đường thẳng $d:2x-3y+5=0$
$\left| {{z}_{1}}+5-2i \right|=2\Leftrightarrow {{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=4$
Vậy điểm A biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ là đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right):{{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=4\Rightarrow {{I}_{1}}\left( -5;2 \right);{{R}_{1}}=2$.
$\left| {{z}_{2}}-1-6i \right|=2\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=4$
Vậy điểm A biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$ là đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=4\Rightarrow {{I}_{2}}\left( 1;6 \right);{{R}_{2}}=2$.
Ta có $T=\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-{{z}_{2}} \right|+4=MA+MB+4$
Gọi $\left( {{C}_{3}} \right)$ là đường tròn đối xứng $\left( {{C}_{1}} \right)$ qua $d$
$\Rightarrow \left( {{C}_{3}} \right),J,R=2$ với $J$ đối xứng ${{I}_{1}}$ qua $d$ $\Rightarrow J\left( -\dfrac{21}{13};-\dfrac{40}{13} \right)$
$\Rightarrow T=MA+MB+4\min \Leftrightarrow MA+MB+4={{I}_{2}}J=\dfrac{2\sqrt{3770}}{13}$.
A. $\dfrac{2\sqrt{3770}}{13}$.
B. $\dfrac{\sqrt{10361}}{13}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3770}}{13}$.
D. $\dfrac{\sqrt{10361}}{26}$.
$\left| z-1+2i \right|=\left| z+3-4i \right|\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}={{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 2x-3y+5=0$
Vậy điểm M biểu diễn số phức $z$ là đường thẳng $d:2x-3y+5=0$
$\left| {{z}_{1}}+5-2i \right|=2\Leftrightarrow {{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=4$
Vậy điểm A biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ là đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right):{{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=4\Rightarrow {{I}_{1}}\left( -5;2 \right);{{R}_{1}}=2$.
$\left| {{z}_{2}}-1-6i \right|=2\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=4$
Vậy điểm A biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$ là đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=4\Rightarrow {{I}_{2}}\left( 1;6 \right);{{R}_{2}}=2$.
Ta có $T=\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-{{z}_{2}} \right|+4=MA+MB+4$
Gọi $\left( {{C}_{3}} \right)$ là đường tròn đối xứng $\left( {{C}_{1}} \right)$ qua $d$
$\Rightarrow \left( {{C}_{3}} \right),J,R=2$ với $J$ đối xứng ${{I}_{1}}$ qua $d$ $\Rightarrow J\left( -\dfrac{21}{13};-\dfrac{40}{13} \right)$
$\Rightarrow T=MA+MB+4\min \Leftrightarrow MA+MB+4={{I}_{2}}J=\dfrac{2\sqrt{3770}}{13}$.
Đáp án A.