Google
Câu hỏi: Cho 3 mặt cầu tâm ${{O}_{1}}$, ${{O}_{2}}$, ${{O}_{3}}$ đôi một tiếp xúc ngoài với nhau và cùng tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ lần lượt tại ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, ${{A}_{3}}$. Biết ${{A}_{1}}{{A}_{2}}=6$, ${{A}_{1}}{{A}_{3}}=8$, ${{A}_{2}}{{A}_{3}}=10$. Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh ${{O}_{1}}$, ${{O}_{2}}$, ${{O}_{3}}$, ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, ${{A}_{3}}$ bằng
A. $\dfrac{1538}{15}$.
B. $\dfrac{962}{5}$.
C. 154.
D. 90.
Theo định lý đảo của Pitago ta có tam giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}$ vuông tại ${{A}_{1}}$ và có diện tích ${{S}_{{{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}}}=24$
Gọi ${{R}_{1}}$, ${{R}_{2}}$, ${{R}_{3}}$ lần lượt là bán kính mặt cầu có tâm là ${{O}_{1}}$, ${{O}_{2}}$, ${{O}_{3}}$.
Do 3 mặt cầu tiếp xúc ngoài nhau từng đôi một nên ta có ${{R}_{1}}+{{R}_{2}}={{O}_{1}}{{O}_{2}}$, ${{R}_{2}}+{{R}_{3}}={{O}_{2}}{{O}_{3}}$ và ${{R}_{1}}+{{R}_{3}}={{O}_{1}}{{O}_{3}}$
Gọi ${{O}_{4}}$, ${{O}_{5}}$ lần lượt là hình chiếu của ${{O}_{1}}$ lên ${{A}_{3}}{{O}_{3}}$ và ${{A}_{2}}{{O}_{2}}$.
Ta có ${{O}_{1}}{{O}_{2}}^{2}={{O}_{1}}{{O}_{5}}^{2}+{{O}_{5}}{{O}_{2}}^{2}$ $\Rightarrow {{({{R}_{1}}+{{R}_{2}})}^{2}}={{6}^{2}}+{{({{R}_{1}}-{{R}_{2}})}^{2}}$ $\Rightarrow {{R}_{1}}{{R}_{2}}=9 (1)$ tương tự ta cũng có ${{R}_{1}}{{R}_{3}}=16 (2)$ và ${{R}_{2}}{{R}_{3}}=25 (3)$. Giải hệ $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$, $\left( 3 \right)$ ta được ${{R}_{1}}=\dfrac{12}{5}$, ${{R}_{2}}=\dfrac{15}{4}$, ${{R}_{3}}=\dfrac{20}{3}$.
Thể tích khối đa diện lồi cần tính $V$ là tổng thể tích ${{V}_{1}}$ của khối lăng trụ đứng ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}.{{O}_{1}}{{O}_{5}}{{O}_{4}}$ và thể tích ${{V}_{2}}$ khối chóp ${{O}_{1}}.{{O}_{2}}{{O}_{3}}{{O}_{4}}{{O}_{5}}$ có đáy là hình thang vuông tại ${{O}_{4}}$ và ${{O}_{5}}$
Tính ${{V}_{1}}={{R}_{1}}.{{S}_{{{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}}}=\dfrac{12}{5}.24=\dfrac{288}{5}$,
${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}{{O}_{1}}H.{{S}_{{{O}_{2}}{{O}_{3}}{{O}_{4}}{{O}_{5}}}}$ $=\dfrac{1}{3}\dfrac{{{O}_{1}}{{O}_{4}}.{{O}_{1}}{{O}_{5}}}{{{O}_{4}}{{O}_{5}}.}.\dfrac{{{O}_{4}}{{O}_{5}}}{2}({{O}_{3}}{{O}_{4}}+{{O}_{2}}{{O}_{5}})=\dfrac{674}{15}$
Vậy $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\dfrac{288}{5}+\dfrac{674}{15}=\dfrac{1538}{15}$
A. $\dfrac{1538}{15}$.
B. $\dfrac{962}{5}$.
C. 154.
D. 90.
Theo định lý đảo của Pitago ta có tam giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}$ vuông tại ${{A}_{1}}$ và có diện tích ${{S}_{{{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}}}=24$
Gọi ${{R}_{1}}$, ${{R}_{2}}$, ${{R}_{3}}$ lần lượt là bán kính mặt cầu có tâm là ${{O}_{1}}$, ${{O}_{2}}$, ${{O}_{3}}$.
Do 3 mặt cầu tiếp xúc ngoài nhau từng đôi một nên ta có ${{R}_{1}}+{{R}_{2}}={{O}_{1}}{{O}_{2}}$, ${{R}_{2}}+{{R}_{3}}={{O}_{2}}{{O}_{3}}$ và ${{R}_{1}}+{{R}_{3}}={{O}_{1}}{{O}_{3}}$
Gọi ${{O}_{4}}$, ${{O}_{5}}$ lần lượt là hình chiếu của ${{O}_{1}}$ lên ${{A}_{3}}{{O}_{3}}$ và ${{A}_{2}}{{O}_{2}}$.
Ta có ${{O}_{1}}{{O}_{2}}^{2}={{O}_{1}}{{O}_{5}}^{2}+{{O}_{5}}{{O}_{2}}^{2}$ $\Rightarrow {{({{R}_{1}}+{{R}_{2}})}^{2}}={{6}^{2}}+{{({{R}_{1}}-{{R}_{2}})}^{2}}$ $\Rightarrow {{R}_{1}}{{R}_{2}}=9 (1)$ tương tự ta cũng có ${{R}_{1}}{{R}_{3}}=16 (2)$ và ${{R}_{2}}{{R}_{3}}=25 (3)$. Giải hệ $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$, $\left( 3 \right)$ ta được ${{R}_{1}}=\dfrac{12}{5}$, ${{R}_{2}}=\dfrac{15}{4}$, ${{R}_{3}}=\dfrac{20}{3}$.
Thể tích khối đa diện lồi cần tính $V$ là tổng thể tích ${{V}_{1}}$ của khối lăng trụ đứng ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}.{{O}_{1}}{{O}_{5}}{{O}_{4}}$ và thể tích ${{V}_{2}}$ khối chóp ${{O}_{1}}.{{O}_{2}}{{O}_{3}}{{O}_{4}}{{O}_{5}}$ có đáy là hình thang vuông tại ${{O}_{4}}$ và ${{O}_{5}}$
Tính ${{V}_{1}}={{R}_{1}}.{{S}_{{{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}}}=\dfrac{12}{5}.24=\dfrac{288}{5}$,
${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}{{O}_{1}}H.{{S}_{{{O}_{2}}{{O}_{3}}{{O}_{4}}{{O}_{5}}}}$ $=\dfrac{1}{3}\dfrac{{{O}_{1}}{{O}_{4}}.{{O}_{1}}{{O}_{5}}}{{{O}_{4}}{{O}_{5}}.}.\dfrac{{{O}_{4}}{{O}_{5}}}{2}({{O}_{3}}{{O}_{4}}+{{O}_{2}}{{O}_{5}})=\dfrac{674}{15}$
Vậy $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\dfrac{288}{5}+\dfrac{674}{15}=\dfrac{1538}{15}$
Đáp án A.