Cho 2 số thực dương $x,y$ thỏa mãn ${{\log }_{5}}{{\left[ \left(x+2 \right)\left(y+1 \right) \right]}^{y+1}}=125-\left(x-1 \right)\left( y+1...

Phương pháp:
Xét hàm đặc trưng và sử dụng BĐT Cô-si.
Cách giải:
Với $x, y>0$ ta có:
$\log _{5}[(x+2)(y+1)]^{y+1}=125-(x-1)(y+1)$
$\Leftrightarrow(y+1)\left[\log _{5}(x+2)+\log _{5}(y+1)\right]=125-(x-1)(y+1)$
$\Leftrightarrow \log _{5}(x+2)+\log _{5}(y+1)=\dfrac{125}{y+1}-x+1$
$\Leftrightarrow \log _{5}(x+2)+\log _{5}(y+1)=\dfrac{125}{y+1}-(x+2)+3$
$\Leftrightarrow \log _{5}(x+2)+(x+2)=\log _{5} \dfrac{125}{y+1}+\dfrac{125}{y+1}$
Xét hàm đặc trưng $f(t)=\log _{5} t+t(t>0)$ ta có $f^{\prime}(t)=\dfrac{1}{t \ln 5}+1>0 \forall t>0$, suy ra hàm số đồng biến trên $(0 ;+\infty)$, do đó $f(x+2)=f\left(\dfrac{125}{y+1}\right) \Leftrightarrow x+2=\dfrac{125}{y+1} \Leftrightarrow x=\dfrac{125}{y+1}-2$.
Khi đó ta có $P=x+5 y=\dfrac{125}{y+1}-2+5 y$.
$\Rightarrow P=\dfrac{125}{y+1}+5(y+1)-7 \geq 2 \sqrt{\dfrac{125}{y+1} \cdot 5(y+1)}-7=43$
Dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{125}{y+1}=5(y+1) \Leftrightarrow(y+1)^{2}=25 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}y+1=5 \\ y+1=-5\end{array} \Leftrightarrow y=4\right.$ (do $y>0$ ).
Với $y=4 \Rightarrow x=\dfrac{125}{5}-2=23$.
Vậy $P_{\min }=43 \Leftrightarrow x=23, y=4$.