Google
Câu hỏi: Cho 2 số thực dương a, b khác 1 và đồ thị của các hàm số $y={{\log }_{a}}x,y={{\log }_{b}}x$ như hình vẽ. Gọi d là đường thẳng song song với trục Oy và cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ $x=k$ ( $k>1$ ). Gọi ${{S}_{1}}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y={{\log }_{a}}x$, đường thẳng d và trục hoành; ${{S}_{2}}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y={{\log }_{b}}x$, đường thẳng d và trục hoành. Biết ${{S}_{1}}=4{{\text{S}}_{2}}$, mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $b={{a}^{4}}$
B. $a={{b}^{4}}$
C. $b={{a}^{4}}\ln 2$
D. $a={{b}^{4}}\ln 2$
A. $b={{a}^{4}}$
B. $a={{b}^{4}}$
C. $b={{a}^{4}}\ln 2$
D. $a={{b}^{4}}\ln 2$
Theo giả thiết và công thức tích phân từng phần, ta có:
${{S}_{1}}=\int\limits_{1}^{k}{{{\log }_{a}}xd\text{x}}=\int\limits_{1}^{k}{\dfrac{\ln \text{x}}{\ln a}d\text{x}}=\dfrac{1}{\ln a}\left( \left. x\ln \text{x} \right|_{1}^{k}-\int\limits_{1}^{k}{x.\dfrac{1}{x}d\text{x}} \right)=\dfrac{k\ln k-\left( k-1 \right)}{\ln a}$.
. ${{S}_{2}}=\int\limits_{1}^{k}{{{\log }_{b}}x\text{dx}}=\int\limits_{1}^{k}{\dfrac{\ln \text{x}}{\ln b}d\text{x}}=\dfrac{1}{\ln b}\left( \left. x\ln \text{x} \right|_{1}^{k}-\int\limits_{1}^{k}{x.\dfrac{1}{x}d\text{x}} \right)=\dfrac{k\ln k-\left( k-1 \right)}{\ln b}$.
Vậy ${{S}_{1}}=4{{\text{S}}_{2}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{\ln a}=\dfrac{4}{\ln b}\Leftrightarrow \ln b=\ln {{a}^{4}}\Leftrightarrow b={{a}^{4}}$.
${{S}_{1}}=\int\limits_{1}^{k}{{{\log }_{a}}xd\text{x}}=\int\limits_{1}^{k}{\dfrac{\ln \text{x}}{\ln a}d\text{x}}=\dfrac{1}{\ln a}\left( \left. x\ln \text{x} \right|_{1}^{k}-\int\limits_{1}^{k}{x.\dfrac{1}{x}d\text{x}} \right)=\dfrac{k\ln k-\left( k-1 \right)}{\ln a}$.
. ${{S}_{2}}=\int\limits_{1}^{k}{{{\log }_{b}}x\text{dx}}=\int\limits_{1}^{k}{\dfrac{\ln \text{x}}{\ln b}d\text{x}}=\dfrac{1}{\ln b}\left( \left. x\ln \text{x} \right|_{1}^{k}-\int\limits_{1}^{k}{x.\dfrac{1}{x}d\text{x}} \right)=\dfrac{k\ln k-\left( k-1 \right)}{\ln b}$.
Vậy ${{S}_{1}}=4{{\text{S}}_{2}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{\ln a}=\dfrac{4}{\ln b}\Leftrightarrow \ln b=\ln {{a}^{4}}\Leftrightarrow b={{a}^{4}}$.
Đáp án A.