Cho 2 số thực dương a, b khác 1 và đồ thị của các hàm số $y={{\log...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Cho 2 số thực dương a, b khác 1 và đồ thị của các hàm số

y = \log_{a} x, y = \log_{b} x

như hình vẽ. Gọi d là đường thẳng song song với trục Oy và cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ

x = k

(

k > 1

). Gọi

S_{1}

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi

y = \log_{a} x

, đường thẳng d và trục hoành;

S_{2}

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi

y = \log_{b} x

, đường thẳng d và trục hoành. Biết

S_{1} = 4 S_{2}

, mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

b = a^{4}

B.

a = b^{4}

C.

b = a^{4} \ln 2

D.

a = b^{4} \ln 2

Theo giả thiết và công thức tích phân từng phần, ta có:

S_{1} = \int_{1}^{k} \log_{a} x d x = \int_{1}^{k} \frac{\ln x}{\ln a} d x = \frac{1}{\ln a} ({x \ln x |}_{1}^{k} - \int_{1}^{k} x . \frac{1}{x} d x) = \frac{k \ln k - (k - 1)}{\ln a}

.
.

S_{2} = \int_{1}^{k} \log_{b} x dx = \int_{1}^{k} \frac{\ln x}{\ln b} d x = \frac{1}{\ln b} ({x \ln x |}_{1}^{k} - \int_{1}^{k} x . \frac{1}{x} d x) = \frac{k \ln k - (k - 1)}{\ln b}

.
Vậy

S_{1} = 4 S_{2} \Leftrightarrow \frac{1}{\ln a} = \frac{4}{\ln b} \Leftrightarrow \ln b = \ln a^{4} \Leftrightarrow b = a^{4}

.

Đáp án A.