Google
Câu hỏi: Cho 2 số phức ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-\overline{{{z}_{1}}}+2i \right|=\left| 3{{z}_{1}}+\overline{{{z}_{1}}}+4-2i \right|$ và $\left| \overline{{{z}_{2}}}-4-i \right|=2$. Gọi $A, B$ là các điểm biểu diễn các số phức ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ trong mặt phẳng tọa độ. Độ dài đoạn $AB$ ngắn nhất bằng:
A. $2\sqrt{5}-2$.
B. $2\sqrt{2}-2$.
C. $2\sqrt{3}-2$.
D. $2\sqrt{6}-2$.
A. $2\sqrt{5}-2$.
B. $2\sqrt{2}-2$.
C. $2\sqrt{3}-2$.
D. $2\sqrt{6}-2$.
Đặt ${{z}_{1}}=a+bi \left( a,b\in \mathbb{R} \right)$, ta có:
$\left| {{z}_{1}}-\overline{{{z}_{1}}}+2i \right|=\left| 3{{z}_{1}}+\overline{{{z}_{1}}}+4-2i \right|$ $\Leftrightarrow \left| a+bi-a+bi+2i \right|=\left| 3a+3bi+a-bi+4-2i \right|$
$\Leftrightarrow \left| \left( 2b+2 \right)i \right|=\left| 4a+4+\left( 2b-2 \right)i \right|\Leftrightarrow {{\left( 2b+2 \right)}^{2}}={{\left( 4a+4 \right)}^{2}}+{{\left( 2b-2 \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow b={{a}^{2}}+2a+1$
$\Rightarrow $ Điểm A luôn thuộc parabol $\left( P \right):y={{x}^{2}}+2x+1$
Đặt ${{z}_{2}}=c+di \left( c,d\in \mathbb{R} \right)$, ta có:
$\left| \overline{{{z}_{2}}}-4-i \right|=2$ $\Leftrightarrow \left| c-di-4-i \right|=2$ $\Leftrightarrow {{\left( c-4 \right)}^{2}}+{{\left( d+1 \right)}^{2}}=4$
$\Rightarrow $ Điểm B luôn thuộc đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=4$ với tâm $I\left( 4;-1 \right)$ và bán kính $r=2$
Gọi $\left( C' \right)$ là đường tròn tâm $I\left( 4;-1 \right)$, bán kính $R$ tiếp xúc với parabol $\left( P \right):y={{x}^{2}}+2x+1$ tại M.
Ta có: $\left( C' \right):{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}={{R}^{2}}$
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C' \right)$ và $\left( P \right)$ là: ${{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( {{x}^{2}}+2x+1+1 \right)}^{2}}={{R}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)}^{2}}={{R}^{2}}$
Đặt $f\left( x \right)={{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)}^{2}}$
$f'\left( x \right)=2\left( x-4 \right)+2\left( 2x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)$ $=4{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}+18x$
$f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0$
Ta có bảng biến thiên:
Vì $\left( C' \right)$ và $\left( P \right)$ tiếp xúc nhau nên ${{R}^{2}}=20\Rightarrow R=2\sqrt{5}\Rightarrow IM=2\sqrt{5}$.
Ta có: $AB\ge IA-IB$ (Quy tắc 3 điểm)
Mà $IA\ge IM$ nên $AB\ge IM-IB\Rightarrow AB\ge 2\sqrt{5}-2$.
$\left| {{z}_{1}}-\overline{{{z}_{1}}}+2i \right|=\left| 3{{z}_{1}}+\overline{{{z}_{1}}}+4-2i \right|$ $\Leftrightarrow \left| a+bi-a+bi+2i \right|=\left| 3a+3bi+a-bi+4-2i \right|$
$\Leftrightarrow \left| \left( 2b+2 \right)i \right|=\left| 4a+4+\left( 2b-2 \right)i \right|\Leftrightarrow {{\left( 2b+2 \right)}^{2}}={{\left( 4a+4 \right)}^{2}}+{{\left( 2b-2 \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow b={{a}^{2}}+2a+1$
$\Rightarrow $ Điểm A luôn thuộc parabol $\left( P \right):y={{x}^{2}}+2x+1$
Đặt ${{z}_{2}}=c+di \left( c,d\in \mathbb{R} \right)$, ta có:
$\left| \overline{{{z}_{2}}}-4-i \right|=2$ $\Leftrightarrow \left| c-di-4-i \right|=2$ $\Leftrightarrow {{\left( c-4 \right)}^{2}}+{{\left( d+1 \right)}^{2}}=4$
$\Rightarrow $ Điểm B luôn thuộc đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=4$ với tâm $I\left( 4;-1 \right)$ và bán kính $r=2$
Gọi $\left( C' \right)$ là đường tròn tâm $I\left( 4;-1 \right)$, bán kính $R$ tiếp xúc với parabol $\left( P \right):y={{x}^{2}}+2x+1$ tại M.
Ta có: $\left( C' \right):{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}={{R}^{2}}$
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C' \right)$ và $\left( P \right)$ là: ${{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( {{x}^{2}}+2x+1+1 \right)}^{2}}={{R}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)}^{2}}={{R}^{2}}$
Đặt $f\left( x \right)={{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)}^{2}}$
$f'\left( x \right)=2\left( x-4 \right)+2\left( 2x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)$ $=4{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}+18x$
$f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0$
Ta có bảng biến thiên:
Vì $\left( C' \right)$ và $\left( P \right)$ tiếp xúc nhau nên ${{R}^{2}}=20\Rightarrow R=2\sqrt{5}\Rightarrow IM=2\sqrt{5}$.
Ta có: $AB\ge IA-IB$ (Quy tắc 3 điểm)
Mà $IA\ge IM$ nên $AB\ge IM-IB\Rightarrow AB\ge 2\sqrt{5}-2$.
Đáp án A.