Google
Câu hỏi: Cho 2 số phức ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}+5 \right|=5;\left| {{z}_{2}}+1-3i \right|=\left| {{z}_{2}}-3-6i \right|.$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ là
A. ${{P}_{\min }}=3.$
B. ${{P}_{\min }}=\dfrac{3}{2}.$
C. ${{P}_{\min }}=\dfrac{5}{2}.$
D. ${{P}_{\min }}=5.$
Đặt ${{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}}\in \mathbb{R} \right)$ và ${{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}}\in \mathbb{R} \right).$
Khi đó ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ tương ứng được biểu diễn bởi hai điểm $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Do $\left| {{z}_{1}}+5 \right|=5$ nên $IA=5$ với $I\left( -5;0 \right)$, hay A thuộc đường tròn $\left( I;5 \right)$.
Do $\left| {{z}_{2}}+1-3i \right|=\left| {{z}_{2}}-3-6i \right|$ nên MB=NB với $M\left( -1;3 \right),N\left( 3;6 \right)$ hay B thuộc trung trực của MN.
Trung điểm của Mn có tọa độ $\left( 1;\dfrac{9}{2} \right)$ và $\overrightarrow{MN}\left( 4;3 \right)$ nên phương trình đường trung trực của MN là $\left( \Delta \right):4\left( x-1 \right)+3\left( y-\dfrac{9}{2} \right)=0$ hay $\left( \Delta \right):4\text{x}+3y-\dfrac{35}{2}=0.$
Ta có: $d\left( I,\Delta \right)=\dfrac{\left| 4.\left( -5 \right)+3.0-\dfrac{35}{2} \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\dfrac{15}{2}.$
Do $P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=AB$ nên ${{P}_{\min }}=A{{B}_{\min }}=d\left( I,\Delta \right)-5=\dfrac{15}{2}-5=\dfrac{5}{2}.$
A. ${{P}_{\min }}=3.$
B. ${{P}_{\min }}=\dfrac{3}{2}.$
C. ${{P}_{\min }}=\dfrac{5}{2}.$
D. ${{P}_{\min }}=5.$
Khi đó ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ tương ứng được biểu diễn bởi hai điểm $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Do $\left| {{z}_{1}}+5 \right|=5$ nên $IA=5$ với $I\left( -5;0 \right)$, hay A thuộc đường tròn $\left( I;5 \right)$.
Do $\left| {{z}_{2}}+1-3i \right|=\left| {{z}_{2}}-3-6i \right|$ nên MB=NB với $M\left( -1;3 \right),N\left( 3;6 \right)$ hay B thuộc trung trực của MN.
Trung điểm của Mn có tọa độ $\left( 1;\dfrac{9}{2} \right)$ và $\overrightarrow{MN}\left( 4;3 \right)$ nên phương trình đường trung trực của MN là $\left( \Delta \right):4\left( x-1 \right)+3\left( y-\dfrac{9}{2} \right)=0$ hay $\left( \Delta \right):4\text{x}+3y-\dfrac{35}{2}=0.$
Ta có: $d\left( I,\Delta \right)=\dfrac{\left| 4.\left( -5 \right)+3.0-\dfrac{35}{2} \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\dfrac{15}{2}.$
Do $P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=AB$ nên ${{P}_{\min }}=A{{B}_{\min }}=d\left( I,\Delta \right)-5=\dfrac{15}{2}-5=\dfrac{5}{2}.$
Đáp án C.