Cho $0 < x \neq 1, 0 < a \neq 1$ và $M=\dfrac{1}{{{\log...

The Professor · 14/12/21

Câu hỏi: Cho

0 < x \neq 1, 0 < a \neq 1

và

M = \frac{1}{\log_{a} x} + \frac{1}{\log_{a^{3}} x} + \frac{1}{\log_{a^{5}} x} + . . . + \frac{1}{\log_{a^{2019}} x} .

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.

M = \frac{2020^{2}}{\log_{a} x} .

B.

M = \frac{2018.1010}{\log_{a} x} .

C.

M = \frac{2020.1010}{\log_{a} x} .

D.

M = \frac{1010^{2}}{\log_{a} x} .

Với điều kiện

0 < x \neq 1, 0 < a \neq 1.

Ta có:

M = \log_{x} a + \log_{x} a^{3} + \log_{x} a^{5} + . . . + \log_{x} a^{2019}

= \log_{x} (a . a^{3} . a^{5} . . . a^{2019}) = (1 + 3 + 5 + . . . + 2019) \log_{x} a (*)

= 1010^{2} . \log_{x} a = \frac{1010^{2}}{\log_{a} x} .

\log_{a} (y_{1} . y_{2} . . . . . y_{n}) = \log_{a} y_{1} + \log_{a} y_{2} + . . . + \log_{a} y_{n}

(với

a, y_{1}, y_{2}, . . ., y_{n} > 0; a \neq 1

)
Công thức:

1 + 3 + 5 + . . . + (2 n - 1) = n^{2} .

Chứng minh dựa vào tính tổng của một CSC với

u_{1} = 1, u_{n} = 2 n - 1, d = 2.

Khi đó tổng

S = \frac{n}{2} (u_{1} + u_{n}) = \frac{n}{2} (1 + 2 n - 1) = n^{2}

Đáp án D.

Cho 0<x≠1,0<a≠1 và $M=\dfrac{1}{{{\log...