Google
Câu hỏi: Cho $0\le x\le 2020$ và ${{\log }_{2}}\left( 2x+2 \right)+x-3y={{8}^{y}}$. Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa mãn các điều kiện trên?
A. $1$.
B. $2019$.
C. $4$.
D. $2018$.
A. $1$.
B. $2019$.
C. $4$.
D. $2018$.
Ta có
$\begin{aligned}
& {{\log }_{2}}\left( 2x+2 \right)+x-3y={{8}^{y}} \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x+1 \right)+x+1=3y+{{8}^{y}} \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x+1 \right)+x+1={{\log }_{2}}{{2}^{3y}}+{{2}^{3y}}\left( 1 \right). \\
\end{aligned}$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t,\forall t>0$ có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t.\ln 2}+1>0,\forall t>0$.
Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Do đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( x+1 \right)=f\left( {{2}^{3y}} \right)\Leftrightarrow x+1={{2}^{3y}}$.
Lại có $0\le x\le 2020\Leftrightarrow 0\le {{2}^{3y}}-1\le 2020\Leftrightarrow 0\le y\le \dfrac{{{\log }_{2}}2021}{3}$ và $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \left\{ 0;1;2;3 \right\}$.
Vậy có $4$ cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa mãn.
$\begin{aligned}
& {{\log }_{2}}\left( 2x+2 \right)+x-3y={{8}^{y}} \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x+1 \right)+x+1=3y+{{8}^{y}} \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x+1 \right)+x+1={{\log }_{2}}{{2}^{3y}}+{{2}^{3y}}\left( 1 \right). \\
\end{aligned}$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t,\forall t>0$ có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t.\ln 2}+1>0,\forall t>0$.
Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Do đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( x+1 \right)=f\left( {{2}^{3y}} \right)\Leftrightarrow x+1={{2}^{3y}}$.
Lại có $0\le x\le 2020\Leftrightarrow 0\le {{2}^{3y}}-1\le 2020\Leftrightarrow 0\le y\le \dfrac{{{\log }_{2}}2021}{3}$ và $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \left\{ 0;1;2;3 \right\}$.
Vậy có $4$ cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa mãn.
Đáp án C.