Câu hỏi 5 trang 35 SGK Đại số và Giải tích 11

Câu hỏi: Dựa vào các công thức cộng đã học
sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa;
sin(a – b) = sina cosb - sinb cosa;
cos(a + b) = cosa cosb – sina sinb;
cos(a – b) = cosa cosb + sina sinb;
và kết quả cos \({\pi  \over 4}\) = sin\({\pi  \over 4}\) = \({{\sqrt 2 } \over 2}\), hãy chứng minh rằng:

Câu a​

sinx + cosx = √2 cos(x - \({\pi  \over 4}\));
Lời giải chi tiết:
sin⁡x + cos⁡x = √2.(\({{\sqrt 2 } \over 2}\) sin⁡x + \({{\sqrt 2 } \over 2}\) cos⁡x )
= √2.(sin⁡ \({\pi  \over 4}\) sin⁡x + cos⁡ \({\pi  \over 4}\) cos⁡x )
= √2.cos⁡(x - \({\pi  \over 4}\))
Cách khác:
√2 cos(x - π/4)
= √2.(cosx.cos π/4 + sinx. Sin π/4)
= √2.(√2/2.cosx + √2/2. Sinx)
= √2.√2/2.cosx + √2.√2/2. Sinx
= cosx + sinx (đpcm)

Câu b​

sin x – cosx = √2 sin(x - \({\pi  \over 4}\)).
Lời giải chi tiết:
sin⁡x - cos⁡x = √2.(\({{\sqrt 2 } \over 2}\) sin⁡x - \({{\sqrt 2 } \over 2}\) cos⁡x )
= √2.(cos⁡ \({\pi  \over 4}\) sin⁡x - sin⁡ \({\pi  \over 4}\) cos⁡x )
= √2. Sin⁡(x - \({\pi  \over 4}\))
Cách khác:
√2. Sin(x - π/4)
= √2.(sinx.cos π/4 - sin π/4.cosx )
= √2.(√2/2. Sinx - √2/2.cosx )
= √2.√2/2. Sinx - √2.√2/2.cosx
= sinx – cosx (đpcm).