Google
Câu hỏi: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số
\(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^2} - 3x + 2} \over {{x^2} - 2x}} \text{ với } x < 2} \cr {mx + m + 1 \text{ với } x \ge 2} \cr} } \right.\)
Liên tục tại điểm \(x = 2\)
\(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^2} - 3x + 2} \over {{x^2} - 2x}} \text{ với } x < 2} \cr {mx + m + 1 \text{ với } x \ge 2} \cr} } \right.\)
Liên tục tại điểm \(x = 2\)
Phương pháp giải
f liên tục tại \(x = 2\)
\(⇔ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left(x \right) = f\left(2 \right) \)
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left(x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left({mx + m + 1} \right) \cr &= 3m + 1 = f\left(2 \right) \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left(x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{{x^2} - 3x + 2} \over {{x^2} - 2x}}\cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{\left({x - 1} \right)\left({x - 2} \right)} \over {x\left({x - 2} \right)}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{x - 1} \over x} = {1 \over 2} \cr} \)
f liên tục tại mọi \(x ≠ 2\). Do đó :
f liên tục trên \(\mathbb R ⇔\) f liên tục tại \(x = 2\)
\(⇔ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left(x \right) = f\left(2 \right) \)
\(\Leftrightarrow 3m + 1 = {1 \over 2} \Leftrightarrow m = - {1 \over 6}\)
f liên tục tại \(x = 2\)
\(⇔ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left(x \right) = f\left(2 \right) \)
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left(x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left({mx + m + 1} \right) \cr &= 3m + 1 = f\left(2 \right) \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left(x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{{x^2} - 3x + 2} \over {{x^2} - 2x}}\cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{\left({x - 1} \right)\left({x - 2} \right)} \over {x\left({x - 2} \right)}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{x - 1} \over x} = {1 \over 2} \cr} \)
f liên tục tại mọi \(x ≠ 2\). Do đó :
f liên tục trên \(\mathbb R ⇔\) f liên tục tại \(x = 2\)
\(⇔ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left(x \right) = f\left(2 \right) \)
\(\Leftrightarrow 3m + 1 = {1 \over 2} \Leftrightarrow m = - {1 \over 6}\)