Câu 57 trang 177 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu hỏi: Cho một cấp số nhân (un​), trong đó
\(243{u_8} = 32{u_3} \text{ với } {u_3} \ne 0.\)

Câu a​

Tính công bội của cấp số nhân đã cho.
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \({u_{n}} = {u_1}{q^{n-1}}\)
Lời giải chi tiết:
Cấp số nhân đã cho có số hạng đầu là u1​, công bội q.
Ta có: u3​ = u1​. Q2​ ≠ 0 ⇒ u1​ ≠ 0; q ≠ 0
Theo giả thiết ta có: 243 u8​ = 32. U3​ nên:
243. U1​. Q7​ = 32. U1​. Q2​
243. U1​. Q7​ - 32. U1​. Q2​ = 0
u1​. Q2​. (243. Q5​ - 32) = 0
243. Q5​ - 32 = 0 (vì u1​ ≠ 0; q ≠ 0)
\(\Leftrightarrow {q^5} = \frac{{32}}{{243}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^5}\)\(\Leftrightarrow q = \frac{2}{5}\)
Cách khác:
Ta có: \({u_8} = {u_3}{q^5}\) với q là công bội của cấp số nhân.
Thay vào đẳng thức đã cho, ta được :
\(243{u_3}{q^5} = 32{u_3}\)
Vì u3​≠ 0 nên :  \({q^5} = {{32} \over {243}} = {\left( {{2 \over 3}} \right)^5}\) \(\Leftrightarrow q = {2 \over 3}\)

Câu b​

Biết rằng tổng của cấp số nhân đã cho bằng \({3^5},\) tính u1​.
Phương pháp giải:
Công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)
Lời giải chi tiết:
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đó là \(S = {{{u_1}} \over {1 - q}}.\)
Từ đó, ta có :
\({3^5} = {{{u_1}} \over {1 - {2 \over 3}}}\) \(\Leftrightarrow {3^5} = \frac{{{u_1}}}{{1/3}} \) \(\Leftrightarrow {u_1} = {3^5}.\frac{1}{3} = {3^4} = 81\)