Câu 5 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao

Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với \(\alpha, a, b\)là những số cho trước, xét phép biến hình F biến mỗi điểm \(M\left( {x; y} \right)\) thành điểm \(M'\left( {x'; y'} \right)\), trong đó
\(\left\{ {\matrix{{x' = x\cos \alpha - y\sin \alpha + a} \cr {y' = x\sin \alpha + y\cos \alpha + b} \cr} } \right.\)

Câu a​

Cho hai điểm \(M\left( {{x_1};{y_1}} \right), N\left({{x_2};{y_2}} \right)\) và gọi M', N' lần lượt là ảnh của M, N qua phép F. Hãy tìm tọa độ của M' và N'.
Lời giải chi tiết:
M’ có tọa độ \({(x_1'},{\rm{ }}y{_1}')\) với \(\left\{ {\matrix{{x{'_1} = {x_1}\cos \alpha - {y_1}\sin \alpha + a} \cr {y{'_1} = {x_1}\sin \alpha + {y_1}\cos \alpha + b} \cr} } \right.\)
N’ có tọa độ \({(x_2'},{\rm{ }}y{_2}')\) với \(\left\{ {\matrix{{x{'_2} = {x_2}\cos \alpha - {y_2}\sin \alpha + a} \cr {y{'_2} = {x_2}\sin \alpha + {y_2}\cos \alpha + b} \cr} } \right.\)

Câu b​

Tính khoảng cách d giữa M và N; khoảng cách d' giữa M' và N'
Lời giải chi tiết:
Ta có \(d=MN=\sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left({{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} \)
$M^{\prime} N^{\prime}=\sqrt{\left(x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}\right)^{2}+\left(y_{2}^{\prime}-y_{1}^{\prime}\right)^{2}}$
$ = \sqrt {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left[ {\left( {{x_2}\cos \alpha - {y_2}\sin \alpha + a} \right) - \left( {{x_1}\cos \alpha - {y_1}\sin \alpha + a} \right)} \right]}^2}} \\
{ + {{\left[ {\left( {{x_2}\sin \alpha + {y_2}\cos \alpha + b} \right) - \left( {{x_1}\sin \alpha + {y_1}\cos \alpha + b} \right)} \right]}^2}}
\end{array}} $
$=\sqrt{\left[\left(x_{2}-x_{1}\right) \cos \alpha-\left(y_{2}-y_{1}\right) \sin \alpha\right]^{2}+\left[\left(x_{2}-x_{1}\right) \sin \alpha+\left(y_{2}-y_{1}\right) \cos \alpha\right]^{2}}$
$ = \sqrt {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}{{\cos }^2}\alpha - 2\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{y_2} - {y_1}} \right)\cos \alpha \sin \alpha + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}{{\sin }^2}\alpha } \\
{ + {{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}{{\sin }^2}\alpha - 2\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{y_2} - {y_1}} \right)\cos \alpha \sin \alpha + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}{{\cos }^2}\alpha }
\end{array}} $
$=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}\left(\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha\right)+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}\left(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha\right)}$
$=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$

Câu c​

Phép F có phải là phép dời hình hay không ?
Lời giải chi tiết:
Từ câu b suy ra \(MN=M'N'\) do đó \(F\) là phép dời hình.

Câu d​

Khi \(\alpha = 0\), chứng tỏ rằng F là phép tịnh tiến
Lời giải chi tiết:
Khi \(\alpha=0\) thì:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x' = x\cos 0 - y\sin 0 + a\\
y' = x\sin 0 + y\cos 0 + b
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x' = x. 1 - y. 0 + a\\
y' = x. 0 + y. 1 + b
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x' = x + a\\
y' = y + b
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(F\) là phép tịnh tiến vectơ \(\overrightarrow u \left( {a; b} \right).\)