Google
Câu hỏi: a) Thử lại rằng : $x = {A_1}\cos \omega t + {A_2}\sin \omega t$ (6.14) trong đó A1 và A2 là hai hằng số bất kì cũng là nghiệm của phương trình (6.3).
b) Chứng tỏ rằng, nếu chọn A1 và A2 trong biểu thức ở vế trái của (6.14) như sau: ${A_1} = A\cos \varphi ;{A_2} = - A\sin \varphi $ thì biểu thức ấy trùng với biểu thức ở vế phải của (6.4).
b) Chứng tỏ rằng, nếu chọn A1 và A2 trong biểu thức ở vế trái của (6.14) như sau: ${A_1} = A\cos \varphi ;{A_2} = - A\sin \varphi $ thì biểu thức ấy trùng với biểu thức ở vế phải của (6.4).
Lời giải chi tiết
a) Ta có :
$x = {A_1}\cos \omega t + {A_2}\sin \omega t \Rightarrow x' = - {A_1}\omega \sin \omega t + {A_2}\omega \cos \omega t.$
$x" = - {A_1}{\omega ^2}\cos \omega t - {A_2}{\omega ^2}\sin \omega t.$
Ta được :
$\eqalign{
& x" + {\omega ^2}x = - {A_1}{\omega ^2}\cos \omega t - {A_2}{\omega ^2}\sin \omega t + {\omega ^2}\left({A_1}\cos \omega t + {A_2}\sin \omega t\right) \cr
& \Rightarrow x" + {\omega ^2}x = - {A_1}{\omega ^2}\cos \omega t - {A_2}{\omega ^2}\sin \omega t + {A_1}{\omega ^2}\cos \omega t + {A_2}{\omega ^2}\sin \omega t = 0. \cr} $
Vậy : $x = {A_1}\cos \omega t + {A_2}\sin \omega t$ là nghiệm của phương trình $x" + {\omega ^2}x = 0.$
b) Nếu chọn ${A_1} = A\cos \varphi $ và ${A_2} = - A\sin \varphi $
thì $\eqalign{& x = {A_1}\cos \omega t + {A_2}\sin \omega t = A\cos \varphi \cos \omega t - A\sin \varphi \sin \omega t \cr & = A\left(\cos \varphi \cos \omega t - \sin \varphi \sin \omega t\right) \cr & \Rightarrow x = A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right). \cr} $
a) Ta có :
$x = {A_1}\cos \omega t + {A_2}\sin \omega t \Rightarrow x' = - {A_1}\omega \sin \omega t + {A_2}\omega \cos \omega t.$
$x" = - {A_1}{\omega ^2}\cos \omega t - {A_2}{\omega ^2}\sin \omega t.$
Ta được :
$\eqalign{
& x" + {\omega ^2}x = - {A_1}{\omega ^2}\cos \omega t - {A_2}{\omega ^2}\sin \omega t + {\omega ^2}\left({A_1}\cos \omega t + {A_2}\sin \omega t\right) \cr
& \Rightarrow x" + {\omega ^2}x = - {A_1}{\omega ^2}\cos \omega t - {A_2}{\omega ^2}\sin \omega t + {A_1}{\omega ^2}\cos \omega t + {A_2}{\omega ^2}\sin \omega t = 0. \cr} $
Vậy : $x = {A_1}\cos \omega t + {A_2}\sin \omega t$ là nghiệm của phương trình $x" + {\omega ^2}x = 0.$
b) Nếu chọn ${A_1} = A\cos \varphi $ và ${A_2} = - A\sin \varphi $
thì $\eqalign{& x = {A_1}\cos \omega t + {A_2}\sin \omega t = A\cos \varphi \cos \omega t - A\sin \varphi \sin \omega t \cr & = A\left(\cos \varphi \cos \omega t - \sin \varphi \sin \omega t\right) \cr & \Rightarrow x = A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right). \cr} $